Resolva o PVI:
(a) y^prime prime-3 y^prime+2 y=0, y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado nos dá um problema de valor inicial para uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
y'' - 3y' + 2y = 0,
com as condições y(0)=1 e y'(0)=0. Vamos usar a equação característica para encontrar a solução geral e depois ajustar os constantes usando as condições iniciais.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y(x)=e^r x. Substituindo em y'' - 3y' + 2y=0 obtemos a equação característica:
r^2 - 3r + 2 = 0

Passo 3

Fatorando a equação quadrática:
r^2 - 3r + 2 = (r-1)(r-2) = 0,
logo as raízes são r1 = 1 e r2 = 2. Como são reais e distintas, a solução geral é
y(x) = C1 e^x + C2 e^2x

Passo 4

Para usar as condições iniciais, precisamos de y'(x). Derivando:
y'(x) = C1 e^x + 2C2 e^2x

Passo 5

Impondo
e impondo temos
Resolvendo esse sistema:
subtraindo a primeira da segunda: .

Passo 6

Substituindo C1=2 e C2=-1 na solução geral, obtemos
y(x) = 2e^x - e^2x

Resposta

y(x) = 2e^x - e^2x

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