Resolva y^prime prime prime-3 y^prime prime-y^prime+3 y=0 com y(0)=1, y^prime(0)=-1, y^prime prime(0)=3

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' - 3y'' - y' + 3y = 0
com condições iniciais y(0)=1, y'(0)=-1 e y''(0)=3.
Para resolver, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada trocando cada derivada por r:
r^3 - 3r^2 - r + 3 = 0
Agrupando termos, temos
r^2(r-3) ;-; 1,(r-3) = (r^2 -1)(r-3) = 0,
logo as raízes são r = 1, r = -1 e r = 3.

Passo 3

Como as três raízes são reais e distintas, a solução geral é
y(x) = C1 e^x + C2 e^-x + C3 e^3x

Passo 4

Calculamos as derivadas para aplicar as condições iniciais:
y'(x) = C1 e^x - C2 e^-x + 3C3 e^3x,
y''(x) = C1 e^x + C2 e^-x + 9C3 e^3x
Em x=0 as condições viram o sistema:
C1 + C2 + C3 = 1,[6pt] C1 - C2 + 3C3 = -1,[6pt] C1 + C2 + 9C3 = 3 ]

Passo 5

Do primeiro e terceiro equação subtraímos para isolar C3:
(C1 + C2 + 9C3) - (C1 + C2 + C3) = 2 Longrightarrow 8C3 = 2 Longrightarrow C3 = tfrac14
Substituindo em C1 + C2 + C3 = 1
C1 + C2 = 1 - tfrac14 = tfrac34,
e na segunda equação
C1 - C2 + 3l(tfrac14r) = -1 ;Longrightarrow; C1 - C2 = -1 - tfrac34 = -tfrac74
Resolvendo
C1 = -tfrac12, C2 = tfrac54

Resposta

boxedy(x) = -tfrac12,e^x ;+;tfrac54,e^-x;+;tfrac14,e^3x

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