1. (a) O que é um problema de valor inicial para uma equação diferencial de segunda ordem?
    (b) O que é o problema de contorno para tal equação?

Passo 1

O enunciado quer duas definições para uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem do tipo
y''(x)=fl(x,y(x),y'(x)r)
Precisamos explicar (a) o que é um problema de valor inicial (PVI) e (b) o que é um problema de contorno (PVC) para essa EDO.

Passo 2

Um problema de valor inicial para uma EDO de segunda ordem consiste em especificar, além da própria equação
y''(x)=fl(x,y,y'r),
duas condições iniciais no mesmo ponto x0. Geralmente escolhemos
y(x0)=y0 e y'(x0)=y1
Essas duas condições fixam a “posição” e a “velocidade” iniciais em x0, e, sob condições de regularidade em f (por exemplo continuidade e Lipschitz em (y,y')), garantem existência e unicidade de solução local.

Passo 3

Já um problema de contorno para essa mesma EDO impõe duas condições em pontos diferentes do domínio, digamos a e b. Em vez de valores iniciais, especificamos
y(a)=alpha e y(b)=beta
Aqui a dificuldade pode ser maior: nem sempre existe solução, ou pode haver várias. A EDO continua y''(x)=f(x,y,y'), mas as condições estão “nas bordas” do intervalo [a,b].

Resposta

(a) Um problema de valor inicial para uma equação diferencial de segunda ordem é a EDO
y''(x)=fl(x,y,y'r)
acompanha­da das condições
y(x0)=y0, y'(x0)=y1,
todas em um mesmo ponto x0, garantindo (sob hipóteses em f) existência e unicidade de solução.
(b) Um problema de contorno para a mesma EDO é a equação
y''(x)=fl(x,y,y'r)
com condições de fronteira em dois pontos distintos, por exemplo
y(a)=alpha, y(b)=beta,
que podem levar a existência não trivial ou múltipla de soluções.

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