- (a) O que é um problema de valor inicial para uma equação diferencial de segunda ordem?
(b) O que é o problema de contorno para tal equação?
(b) O que é o problema de contorno para tal equação?
Passo 1
O enunciado quer duas definições para uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem do tipo
Precisamos explicar (a) o que é um problema de valor inicial (PVI) e (b) o que é um problema de contorno (PVC) para essa EDO.
Passo 2
Um problema de valor inicial para uma EDO de segunda ordem consiste em especificar, além da própria equação
duas condições iniciais no mesmo ponto
. Geralmente escolhemos
Essas duas condições fixam a “posição” e a “velocidade” iniciais em
, e, sob condições de regularidade em
(por exemplo continuidade e Lipschitz em
), garantem existência e unicidade de solução local.
Passo 3
Já um problema de contorno para essa mesma EDO impõe duas condições em pontos diferentes do domínio, digamos
e
. Em vez de valores iniciais, especificamos
Aqui a dificuldade pode ser maior: nem sempre existe solução, ou pode haver várias. A EDO continua
, mas as condições estão “nas bordas” do intervalo
.
Resposta
(a) Um problema de valor inicial para uma equação diferencial de segunda ordem é a EDO
acompanhada das condições
todas em um mesmo ponto
, garantindo (sob hipóteses em
) existência e unicidade de solução.
(b) Um problema de contorno para a mesma EDO é a equação
com condições de fronteira em dois pontos distintos, por exemplo
que podem levar a existência não trivial ou múltipla de soluções.