Use a transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial.
y^prime prime+4 y=8 cos 2 x, y^prime(0)=0, y(0)=-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais usando transformada de Laplace. Temos
y'' + 4y = 8cos 2x,
com
y(0) = -2, y'(0) = 0
O conteúdo aqui é o uso da transformada de Laplace para converter a EDO em uma equação algébrica no domínio s. Vamos precisar das fórmulas
Ly'(x) = sY(s) - y(0),
Ly''(x) = s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0),
e da transformada
Lcos 2x = ss^2 + 4

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO. Assim,
Ly'' + 4, Ly = 8, Lcos 2x
Substituindo as fórmulas das derivadas e de cos 2x obtemos
l(s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0)r) + 4Y(s) = 8 cdot ss^2 + 4

Passo 3

Agora inserimos as condições iniciais y(0) = -2 e y'(0) = 0. Isso dá
(s^2Y(s) + 2s) + 4Y(s) = 8ss^2 + 4
Agrupando Y(s):
Y(s)(s^2 + 4) + 2s = 8ss^2 + 4

Passo 4

Isolamos Y(s). Primeiro levamos o termo 2s para o outro lado:
Y(s)(s^2 + 4) = 8ss^2 + 4 - 2s
Colocando sobre o mesmo denominador:
Y(s) = 8s(s^2 + 4)^2 - 2s(s^2 + 4)s^2 + 4cdot1s^2 + 4 = -2ss^2 + 4 + 8s(s^2 + 4)^2

Passo 5

Para voltar ao domínio do tempo, aplicamos a transformada inversa termo a termo. Sabemos que
L^-1ltfracss^2 + 4r = cos 2x,
L^-1ltfracs(s^2 + 4)^2r = xsin 2x4
Logo,
y(x) = -2cos 2x + 8 cdot xsin 2x4 = -2cos 2x + 2x sin 2x

Resposta

y(x) = -2cos 2x + 2x sin 2x

Exercícios relacionados