Use a transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais usando transformada de Laplace. Temos
com
O conteúdo aqui é o uso da transformada de Laplace para converter a EDO em uma equação algébrica no domínio
. Vamos precisar das fórmulas
e da transformada
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO. Assim,
Substituindo as fórmulas das derivadas e de
obtemos
Passo 3
Agora inserimos as condições iniciais
e
. Isso dá
Agrupando
:
Passo 4
Isolamos
. Primeiro levamos o termo
para o outro lado:
Colocando sobre o mesmo denominador:
Passo 5
Para voltar ao domínio do tempo, aplicamos a transformada inversa termo a termo. Sabemos que
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