Verificação de Solução Verifique se y(x)=e^{-3 x} é solução da equação diferencial:
\frac{d y}{d x}+3 y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função \displaystyle y(x)=e^{-3 x} é solução da equação diferencial
\frac{d y}{d x}+3 y=0.
Informações dadas:
\displaystyle y(x)=e^{-3 x} (a função proposta) \n
A equação diferencial a verificar é \displaystyle \frac{d y}{d x}+3 y=0. \n
A tarefa é substituir \displaystyle y(x) e sua derivada na equação e checar se a igualdade é verdadeira para todo x do domínio.

Passo 2

O que significa “ser solução” aqui? \n
Significa que, ao calcular \displaystyle \frac{d y}{d x} da função proposta e substituí‑la na expressão \displaystyle \frac{d y}{d x}+3 y, o resultado deve ser exatamente 0 para todos os x considerados. \n
Observação sobre domínio: a função exponencial \displaystyle e^{-3x} está definida para todo x\in\mathbb{R}, então devemos verificar a igualdade para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Calcular a derivada de \displaystyle y(x)=e^{-3x}. \n
Regra usada: a derivada de uma exponencial com função composta \displaystyle e^{u(x)} é dada por \displaystyle \frac{d}{dx}e^{u(x)}=u'(x)\,e^{u(x)}, onde u'(x) é a derivada de u(x). \n
Aqui temos u(x)=-3x. Então
u'(x)=\frac{d}{dx}(-3x)=-3.
Aplicando a regra,
\frac{d y}{d x}=\frac{d}{dx}e^{-3x}=(-3)\,e^{-3x}=-3e^{-3x}.

Passo 4

Substituir \displaystyle y(x) e \displaystyle \frac{d y}{d x} na expressão da equação diferencial \displaystyle \frac{d y}{d x}+3 y. \n
Fazendo a substituição:
\frac{d y}{d x}+3y = \bigl(-3e^{-3x}\bigr) + 3\bigl(e^{-3x}\bigr).

Passo 5

Simplificar a expressão obtida:
\bigl(-3e^{-3x}\bigr) + 3\bigl(e^{-3x}\bigr) = (-3+3)\,e^{-3x} = 0\cdot e^{-3x} = 0.
A igualdade \displaystyle \frac{d y}{d x}+3y=0 fica satisfeita para todo x, porque o lado esquerdo simplifica exatamente para 0.

Resposta

Sim — \displaystyle y(x)=e^{-3x} é solução da equação diferencial \displaystyle \frac{dy}{dx}+3y=0.

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