Classificação de Equações Diferenciais Classifique cada equação diferencial quanto à ordem e ao tipo (linear ou não linear):
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-4 \frac{d y}{d x}+4 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 4 \frac{d y}{d x} + 4 y = 0
e pede que a classifiquemos quanto à ordem e quanto ao tipo (linear ou não linear).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: \frac{d^{2} y}{d x^{2}} aparece, há também \frac{d y}{d x} e y, os coeficientes numéricos são 1, -4 e 4, e o membro do lado direito é 0.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma equação diferencial?
A ordem é o maior número de derivadas que aparece na equação. Por exemplo, se só aparece \frac{dy}{dx} a ordem é \,1; se aparece \frac{d^2 y}{dx^2} a ordem é \,2, e assim por diante.
Na nossa equação o maior termo derivado presente é \frac{d^{2} y}{d x^{2}}, portanto a ordem é \;2.

Passo 3

O que significa a equação ser “linear”?
Uma equação diferencial de ordem n é linear se pode ser escrita na forma
a_n(x)\frac{d^n y}{dx^n} + a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_1(x)\frac{dy}{dx} + a_0(x)\,y = g(x),
onde cada a_i(x) depende no máximo da variável independente x (ou é constante) e o termo g(x) depende só de x. A ideia chave: as incógnitas y, \frac{dy}{dx},\dots aparecem apenas em primeira potência, não multiplicadas entre si e não dentro de funções não lineares como \sin(y), y^2, e^{y} etc. Se g(x)=0 dizemos que a equação é homogênea.

Passo 4

Comparemos a equação dada com a forma linear: aqui podemos identificar
a_2(x)=1,\qquad a_1(x)=-4,\qquad a_0(x)=4,\qquad g(x)=0.
Os coeficientes a_2,a_1,a_0 são constantes (portanto funções de x triviais) e não há termos não lineares em y ou em suas derivadas (não há y^2, nem (\frac{dy}{dx})^2, nem \sin(y), nem produtos y\cdot \frac{dy}{dx}, etc.). Assim, a equação é linear. Além disso, como g(x)=0, é uma equação linear homogênea. E como os coeficientes são constantes, chamamos também de equação linear homogênea com coeficientes constantes.

Passo 5

Para fixar a ideia, veja dois exemplos contrastantes:
  • Exemplo linear (ordem 1): \displaystyle \frac{dy}{dx} + 3y = \sin x. Aqui y aparece linearmente.
  • Exemplo não linear (ordem 1): \displaystyle \frac{dy}{dx} = y^2. Aqui aparece y^2, então a equação é não linear.
    Perceba que a nossa equação não tem potências de y nem produtos entre derivadas e y, por isso é linear. Vai dar tudo certo — essa classificação é direta uma vez que você olhar onde aparece a maior derivada e se há termos não lineares em y.

Resposta

Ordem: 2
Tipo: linear (linear homogênea de coeficientes constantes)

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