Classificação de Equações Diferenciais Classifique cada equação diferencial quanto à ordem e ao tipo (linear ou não linear):
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que a classifiquemos quanto à ordem e quanto ao tipo (linear ou não linear).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: aparece, há também
e
, os coeficientes numéricos são
,
e
, e o membro do lado direito é
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Passo 2
O que significa “ordem” de uma equação diferencial?
A ordem é o maior número de derivadas que aparece na equação. Por exemplo, se só aparece a ordem é
; se aparece
a ordem é
, e assim por diante.
Na nossa equação o maior termo derivado presente é , portanto a ordem é
.
A ordem é o maior número de derivadas que aparece na equação. Por exemplo, se só aparece
Na nossa equação o maior termo derivado presente é
Passo 3
O que significa a equação ser “linear”?
Uma equação diferencial de ordem é linear se pode ser escrita na forma
Uma equação diferencial de ordem
onde cada
depende no máximo da variável independente
(ou é constante) e o termo
depende só de
. A ideia chave: as incógnitas
,
aparecem apenas em primeira potência, não multiplicadas entre si e não dentro de funções não lineares como
,
,
etc. Se
dizemos que a equação é homogênea.
Passo 4
Comparemos a equação dada com a forma linear: aqui podemos identificar
Os coeficientes
são constantes (portanto funções de
triviais) e não há termos não lineares em
ou em suas derivadas (não há
, nem
, nem
, nem produtos
, etc.). Assim, a equação é linear. Além disso, como
, é uma equação linear homogênea. E como os coeficientes são constantes, chamamos também de equação linear homogênea com coeficientes constantes.
Passo 5
Para fixar a ideia, veja dois exemplos contrastantes:
- Exemplo linear (ordem
): . Aqui aparece linearmente. - Exemplo não linear (ordem
): . Aqui aparece , então a equação é não linear.
Perceba que a nossa equação não tem potências denem produtos entre derivadas e , por isso é linear. Vai dar tudo certo — essa classificação é direta uma vez que você olhar onde aparece a maior derivada e se há termos não lineares em .
Resposta
Ordem:
Tipo: linear (linear homogênea de coeficientes constantes)
Tipo: linear (linear homogênea de coeficientes constantes)