Seja f(x) para todo x neq a e assuma que lim x a f(x)=L e lim x a g(x)=M. Mostre, por meio de um exemplo, que não se tem necessariamente L.

Passo 1

Vamos usar um contraexemplo simples que mostra que mesmo com f(x)<g(x) para todo x≠a, pode acontecer L=M.

Passo 2

Escolhemos a=0, f(x)=0 e g(x)=x^2 para x≠0. Note que para qualquer x≠0 temos 0=f(x)<x^2=g(x).
Explicação da desigualdade: como x^2>0 sempre que x≠0, fica garantido que f(x)<g(x) em todo ponto diferente de a.

Passo 3

Agora calculamos os limites quando x→0. Usamos que funções polinomiais e constantes têm limite igual ao valor em 0. Assim
limxto0f(x)=limxto00=0,

limxto0g(x)=limxto0x^2=0

Passo 4

Portanto, embora f(x)<g(x) para todo x≠0, temos L=M=0, ou seja, não ocorre L<M.

Resposta

Um exemplo é f(x)=0 e g(x)=x^2 com a=0. Aí f(x)<g(x) para todo x≠0, mas limxto0f(x)=limxto0g(x)=0, então L=M.

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