Seja
para todo
e assuma que
e
. Mostre, por meio de um exemplo, que não se tem necessariamente
.
Passo 1
Vamos usar um contraexemplo simples que mostra que mesmo com f(x)<g(x) para todo x≠a, pode acontecer L=M.
Passo 2
Escolhemos a=0, f(x)=0 e g(x)=x^2 para x≠0. Note que para qualquer x≠0 temos 0=f(x)<x^2=g(x).
Explicação da desigualdade: como x^2>0 sempre que x≠0, fica garantido que f(x)<g(x) em todo ponto diferente de a.
Explicação da desigualdade: como x^2>0 sempre que x≠0, fica garantido que f(x)<g(x) em todo ponto diferente de a.
Passo 3
Agora calculamos os limites quando x→0. Usamos que funções polinomiais e constantes têm limite igual ao valor em 0. Assim
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—
—
Passo 4
Portanto, embora f(x)<g(x) para todo x≠0, temos L=M=0, ou seja, não ocorre L<M.
Resposta
Um exemplo é f(x)=0 e g(x)=x^2 com a=0. Aí f(x)<g(x) para todo x≠0, mas
, então L=M.