Nos problemas 11-18, determine uma transformada de Laplace inversa da função dada.
e^-3 s(s-5)(s+1)(s+2)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
F(s)=e^-3s(s-5)(s+1)(s+2)
O conteúdo que vamos usar é a decomposição em frações parciais para achar a inversa sem o fator e^-3s e depois aplicar o teorema do deslocamento no tempo (time-shift), que diz que
L^-1e^-asG(s)(t)=g(t-a)u(t-a),
sendo g= L^-1G e u a função degrau unitário.

Passo 2

Isolamos o fator de deslocamento definindo
G(s)=s-5(s+1)(s+2),
de modo que
F(s)=e^-3sG(s)
Primeiro vamos achar g(t)= L^-1G(s)(t).

Passo 3

Decompondo em frações parciais:
Multiplicando em comum denominador,
Isso leva ao sistema nos coeficientes de
Resolvendo, obtemos .

Passo 4

Assim,
G(s)=-61s+1+71s+2
Tomando a transformada inversa de cada termo:
g(t)=-6e^-t+7e^-2t

Passo 5

Aplicando o teorema do deslocamento no tempo para voltar a F(s)=e^-3sG(s), concluímos que
f(t)=g(t-3),u(t-3) =-6e^-(t-3)u(t-3)+7e^-2(t-3)u(t-3)

Resposta

f(t)=-6e^-(t-3)u(t-3)+7e^-2(t-3)u(t-3)

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