Nos problemas 11-20, determine as expansões em frações parciais para a função racional dada.
-2 s^2-3 s-2s(s+1)^2

Passo 1

O enunciado pede para decompor em frações parciais a função racional
-2 s^2-3 s-2s,(s+1)^2
O conteúdo aqui é técnica de frações parciais para uma função própria cujo denominador fatoriza em pólos simples e duplos. Vamos assumir a forma
-2 s^2-3 s-2s,(s+1)^2 =As+Bs+1+C(s+1)^2

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por s,(s+1)^2 para obter uma identidade em polinômios:
-2 s^2-3 s-2 = A,(s+1)^2 ;+; B,s,(s+1);+;C,s

Passo 3

Expandindo os termos do lado direito, temos
A,(s^2+2s+1)+B,(s^2+s)+C,s = (A+B),s^2 + (2A+B+C),s + A
Comparando coeficientes com o polinômio -2s^2-3s-2, obtemos o sistema
A + B = -2, 2A + B + C = -3, A = -2

Passo 4

Da terceira equação vem A=-2. Substituindo em A+B=-2
-2 + B = -2 ;Longrightarrow; B=0
Em seguida, de 2A+B+C=-3 obtemos
2(-2) + 0 + C = -3 ;Longrightarrow; -4 + C = -3 ;Longrightarrow; C = 1

Resposta

-2 s^2-3 s-2s,(s+1)^2 = -2s ;+;1(s+1)^2

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