Nos Problemas 11.27 a 11.36, determine a forma de uma solução particular de L(y)=phi(x) para phi(x) dada, se a soluçã̃o da equaçăo homogênea associada L(y)=0 for yA=c1 e^5 x cos 3 x+c2 e^5 x sen 3 x.
phi(x)=(x^2-7) e^5 x

Passo 1

O enunciado pede a forma de uma solução particular para a EDO não-homogênea $L(y)=\phi(x)$ tendo a solução homogênea $y_h=c_1e{5x}\cos3x+c_2e{5x}\sin3x$ e o termo forçante $\phi(x)=(x2-7)e{5x}$. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Note que $,\phi(x)=(x2-7)e{5x}$ é do tipo $,P_2(x)e^{\alpha x}$ com $\alpha=5$. O polinômio característico da parte homogênea é $,r^2-10r+34=0$ cujas raízes são $,5\pm3i$. Como $\alpha=5$ não coincide com nenhuma raiz (nenhuma raiz é puramente real 5), não precisamos multiplicar o ansatz por nenhuma potência adicional de $x$.

Passo 3

Assim, adotamos o ansatz de grau 2 multiplicado por $,e^{5x}$, ou seja,
,e^5x

Resposta

y_p = (Ax^2 + Bx + C)e^{5x}

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