Use os critérios vistos em sala para determinar se as séries a seguir são convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty 2^-3 n cdot 5^-n+1 cdot 7^2 n+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar se a série converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas, mais especificamente às séries geométricas. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a expressão da série e aplicar critérios de convergência para séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Vamos manipular os termos exponenciais:
2^-3n = (12)^3n = (18)^n
5^-n+1 = 5^-n cdot 5^1 = 55^n = 5 cdot (15)^n
7^2n+2 = 7^2n cdot 7^2 = 49 cdot (7^2)^n = 49 cdot 49^n
Agora, substituindo de volta na série:
sumn=1^infty (18)^n cdot 5 cdot (15)^n cdot 49 cdot 49^n

Passo 3

Vamos combinar os termos constantes e as potências de (18)^n cdot (15)^n cdot 49^n = (18 cdot 15 cdot 49)^n = (4940)^n :
Constantes: 245 cdot sumn=1^infty (4940)^n
Termos com :
Então, a série fica:

Passo 4

Agora, reconhecemos que temos uma série geométrica da forma , onde .
Para uma série geométrica, sabemos que ela converge se e diverge se .

Passo 5

Vamos verificar o valor de r = 4940 = 1,225 :
Como , isso significa que a série geométrica com esse valor de diverge.

Resposta

A série diverge.

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