Nos problemas 7-12, resolva a equação.
(2 x y) d x+(y^2-3 x^2) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial para resolver:
(2xy) dx + (y^2 - 3x^2) dy = 0
Essa equação está ligada ao estudo de Equações Diferenciais Exatas. Para resolver, vamos verificar se ela é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que nos ajude a torná-la exata.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Podemos escrever a equação na forma:
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
onde:
  • M(x, y) = 2xy
  • N(x, y) = y^2 - 3x^2
Para saber se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x .
Calculamos:
partial Mpartial y = 2x
partial Npartial x = -6x
Como partial Mpartial y neq partial Npartial x , a equação não é exata.

Passo 3

Já que a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que multiplique a equação e a torne exata. Vamos tentar encontrar um fator que dependa apenas de x , ou seja, mu(x) .
Para isso, usamos a condição:
partial (mu M)partial y - partial (mu N)partial xmu N = 0
Calculando as derivadas:
mu partial Mpartial y + M dmudx - mu partial Npartial x - N dmudx = 0
Simplificando e reorganizando, chegamos a uma equação para mu(x) :
dmudx = partial Mpartial y - partial Npartial xN mu
dmudx = 2x - (-6x)y^2 - 3x^2 mu = 8xy^2 - 3x^2 mu
Aqui, percebemos que a escolha de mu(x) pura não simplifica bem, então vamos optar por uma substituição diferente para facilitar.

Passo 4

Vamos tentar uma substituição para simplificar a equação. Seja v = yx , ou seja, y = v x . Então, a derivada de y em relação a x fica:
dy = v dx + x dv
Substituindo y = v x e dy = v dx + x dv na equação original:
2x(vx) dx + ( (v x)^2 - 3x^2 ) (v dx + x dv) = 0
2v x^2 dx + (v^2x^2 - 3x^2)(v dx + x dv) = 0
2v x^2 dx + (v^2 - 3)x^2 (v dx + x dv) = 0
Agora, vamos simplificar:
2v x^2 dx + (v^3 - 3v) x^2 dx + (v^2 - 3) x^3 dv = 0
Podemos dividir tudo por x^2 :
2v dx + (v^3 - 3v) dx + (v^2 - 3) x dv = 0
(2v + v^3 - 3v) dx + (v^2 - 3) x dv = 0
(v^3 - v) dx + (v^2 - 3) x dv = 0

Passo 5

Agora, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis:
(v^3 - v) dx = - (v^2 - 3) x dv
v^3 - vv^2 - 3 = - x dvdx
dvdx = - v^3 - v(v^2 - 3) x
Essa é uma equação separável, então vamos separar as variáveis v e x :
(v^2 - 3)v(v^2 - 1) dv = - dxx

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados. Primeiramente, simplificamos a fração do lado esquerdo:
v^2 - 3v(v^2 - 1) = v^2 - 3v(v - 1)(v + 1)
Podemos decompor em frações parciais:
v^2 - 3v(v - 1)(v + 1) = Av + Bv - 1 + Cv + 1
Resolvendo para A , B e C , encontramos:
A = 1, B = 12, C = 12
Então, a integração fica:
integral ( 1v + 1/2v - 1 + 1/2v + 1 ) dv = - integral dxx
ln|v| + 12 ln|v - 1| + 12 ln|v + 1| = - ln|x| + C

Passo 7

Agora, substituímos v = yx de volta na equação:
ln|yx| + 12 ln|yx - 1| + 12 ln|yx + 1| = - ln|x| + C
Podemos simplificar combinando os logaritmos:
ln|y| + 12 ln|y - x| + 12 ln|y + x| = C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
ln|y| + 12 ln|y - x| + 12 ln|y + x| = C
onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados