Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial para resolver:
Essa equação está ligada ao estudo de Equações Diferenciais Exatas. Para resolver, vamos verificar se ela é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que nos ajude a torná-la exata.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Podemos escrever a equação na forma:
onde:
Para saber se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de em relação a e de em relação a .
Calculamos:
Como , a equação não é exata.
Passo 3
Já que a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que multiplique a equação e a torne exata. Vamos tentar encontrar um fator que dependa apenas de , ou seja, .
Para isso, usamos a condição:
Calculando as derivadas:
Simplificando e reorganizando, chegamos a uma equação para :
Aqui, percebemos que a escolha de pura não simplifica bem, então vamos optar por uma substituição diferente para facilitar.
Passo 4
Vamos tentar uma substituição para simplificar a equação. Seja , ou seja, . Então, a derivada de em relação a fica:
Substituindo e na equação original:
Agora, vamos simplificar:
Podemos dividir tudo por :
Passo 5
Agora, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis:
Essa é uma equação separável, então vamos separar as variáveis e :
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados. Primeiramente, simplificamos a fração do lado esquerdo: