Utilizando o método variação de parâmetros, resolva a equação:
y^prime prime-2 y^prime+y=e^xx^2

Passo 1

Na questão, temos a equação diferencial não homogênea y’’ - 2y’ + y = e^x / x^2. O conteúdo aqui é o método de variação de parâmetros, e vamos precisar primeiro da solução geral da homogênea y_h, depois calcular o Wronskiano e usar as fórmulas de variação de parâmetros para obter y_p.

Passo 2

A equação homogênea associada é y’’ - 2y’ + y = 0. A equação característica é r^2 - 2r + 1 = 0, isto é (r - 1)^2 = 0, com raiz dupla r = 1. Logo as soluções fundamentais são y_1(x) = e^x e y_2(x) = x e^x, e a solução geral da homogênea é y_h = C_1 e^x + C_2 x e^x.

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros, calculamos o Wronskiano W das soluções y_1, y_2:
$$
W = W = y1 & y2 y1' & y2' = e^x & x e^x e^x & (1 + x)e^x = e^xcdot(1+x)e^x - e^xcdot x e^x = e^2x = = ex\cdot(1+x)ex - e^x\cdot x e^x = e^{2x}.$$

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros dão:
nu1' = -g(x),y2W, nu2' = g(x),y1W,
onde g(x)=ex/x2. Substituindo,
$$
\nu_1’ = -\frac{(ex/x2)(x ex)}{e{2x}} = -\frac1x, \quad
\nu_2’ = \frac{(ex/x2)(ex)}{e{2x}} = \frac1{x^2}.
$$

Passo 5

Agora integramos para achar ν_1, ν_2:
nu1 = integral -1x,dx = -ln x, nu2 = integral 1x^2,dx = -1x

Passo 6

A solução particular é y_p = ν_1 y_1 + ν_2 y_2 = -\ln x,e^x - \frac1x\cdot x e^x = -e^x(\ln x + 1). Juntando com y_h, a solução geral é
y(x) = C1 e^x + C2 x e^x - e^x(ln x + 1)

Resposta

y(x) = C_1 e^x + C_2 x e^x - e^x(\ln x + 1)

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