Utilizando o método variação de parâmetros, resolva a equação:
Passo 1
Na questão, temos a equação diferencial não homogênea y’’ - 2y’ + y = e^x / x^2. O conteúdo aqui é o método de variação de parâmetros, e vamos precisar primeiro da solução geral da homogênea y_h, depois calcular o Wronskiano e usar as fórmulas de variação de parâmetros para obter y_p.
Passo 2
A equação homogênea associada é y’’ - 2y’ + y = 0. A equação característica é r^2 - 2r + 1 = 0, isto é (r - 1)^2 = 0, com raiz dupla r = 1. Logo as soluções fundamentais são y_1(x) = e^x e y_2(x) = x e^x, e a solução geral da homogênea é y_h = C_1 e^x + C_2 x e^x.
Passo 3
Para aplicar variação de parâmetros, calculamos o Wronskiano W das soluções y_1, y_2:
$$
W = = = ex\cdot(1+x)ex - e^x\cdot x e^x = e^{2x}.$$
Passo 4
As fórmulas de variação de parâmetros dão:
nu1' = -g(x),y2W, nu2' = g(x),y1W,
onde g(x)=ex/x2. Substituindo,
$$