Nos problemas 7-12, resolva a equação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. O conteúdo que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Exatas e Fatores Integrantes. Precisamos verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante para torná-la exata.
Passo 2
Primeiro, identifique as funções
e
da equação:
Passo 3
Vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Como
Passo 4
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante. Para isso, usamos a fórmula:
Substituindo:
Então,
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Agora, a equação se torna exata.
Passo 6
Para resolver a equação exata, encontramos a função potencial
tal que:
Integrando em relação a
Onde
é uma função de
.
Passo 7
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando os lados:
Portanto,
, e integrando:
Onde
Passo 8
Substituímos
na função
:
Como
Resposta
A solução geral da equação é
, onde
é uma constante.