Nos problemas 7-12, resolva a equação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial (3 x^2+y) dx + (x^2 y - x) dy = 0. O conteúdo que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Exatas e Fatores Integrantes. Precisamos verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante para torná-la exata.

Passo 2

Primeiro, identifique as funções M(x, y) e N(x, y) da equação:
M(x, y) = 3x^2 + y
N(x, y) = x^2 y - x

Passo 3

Vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 1
partial Npartial x = 2xy - 1
Como partial Mpartial y neq partial Npartial x, a equação não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante. Para isso, usamos a fórmula:
mu(x) = e^integral partial Mpartial y - partial Npartial xN dx
Substituindo:
partial Mpartial y - partial Npartial xN = 1 - (2xy - 1)x^2y - x = 2 - 2xyx(xy - 1) = -2x
Então,
mu(x) = e^integral -2x dx = e^-2 ln x = x^-2

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante x^-2:
x^-2(3x^2 + y) dx + x^-2(x^2y - x) dy = (3 + yx^2) dx + (y - 1x) dy = 0
Agora, a equação se torna exata.

Passo 6

Para resolver a equação exata, encontramos a função potencial Psi(x, y) tal que:
partial Psipartial x = 3 + yx^2
Integrando em relação a x:
Psi = integral (3 + yx^2) dx = 3x - yx + h(y)
Onde h(y) é uma função de y.

Passo 7

Agora, derivamos Psi em relação a y e igualamos a N(x, y):
partial Psipartial y = -1x + h'(y) = y - 1x
Comparando os lados:
-1x + h'(y) = y - 1x
Portanto, h'(y) = y, e integrando:
h(y) = 12y^2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Substituímos h(y) na função Psi(x, y):
Psi = 3x - yx + 12y^2 + C
Como Psi é constante, temos a solução geral da equação diferencial:
3x - yx + 12y^2 = C

Resposta

A solução geral da equação é 3x - yx + 12y^2 = C, onde C é uma constante.

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