Nos problemas 7-12, resolva a equação.
(x^4-x+y) d x-x d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
l(x^4-x+yr),dx ;-; x,dy ;=;0
Note que podemos interpretá-la como uma equação de primeira ordem em y(x). Nosso objetivo é reescrevê-la na forma
dydx + P(x),y = Q(x)
e, em seguida, usar um fator integrante.

Passo 2

Começamos isolando dydx. Da equação dada temos
x,dy = l(x^4 - x + yr),dx Longrightarrow dydx = x^3 - 1 + yx
Reorganizando em forma padrão:
dydx - 1x,y = x^3 - 1

Passo 3

Nesta forma, P(x) = -tfrac1x. O fator integrante é
mu(x) = exp!l(integral P(x),dxr) = exp!l(-integral tfrac1x,dxr) = e^-ln|x| = 1x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=tfrac1x:
1x,dydx - 1x^2,y = x^2 - 1x
O lado esquerdo é justamente a derivada de tfracyx:
ddxl(yxr) = x^2 - 1x

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
yx = integrall(x^2 - tfrac1xr),dx = x^33 - lnlvert xrvert + C
Multiplicando por x, obtemos a solução geral
y = x^43 - x,lnlvert xrvert + C,x

Resposta

y = x^43 - x,lnlvert xrvert + C,x

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