Use a transformada de Laplace e expresse a solução dos problemas como uma integral.
y^prime prime-k^2 y=g(t), y(0)=0, y^prime(0)=0;

Passo 1

O enunciado dá a EDO
y'' - k^2y = g(t),
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0. Vamos usar a transformada de Laplace para passar ao domínio s e depois inverter via teorema da convolução.

Passo 2

Aplicando Lcdot à equação, lembrando que
Ly'' = s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0) = s^2Y(s)
já que y(0)=0 e y'(0)=0. Também Lg(t)=G(s). Assim obtemos
s^2Y(s) - k^2Y(s) = G(s)

Passo 3

Isolando Y(s), vem
Y(s) = G(s)s^2 - k^2

Passo 4

Para inverter, usamos que
Lsinh(k t) = ks^2 - k^2,
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1s^2 - k^2 = 1k,Lsinh(k t)
Pelo teorema da convolução,
y(t) = L^-1Y(s) = L^-1lG(s),1s^2 - k^2r = integral0^t h(t-tau),g(tau),dtau,
onde h(t)=L^-11/(s^2-k^2) = tfrac1ksinh(k t).

Passo 5

Portanto a solução em forma integral é
y(t) = integral0^t 1k,sinhl(k,(t-tau)r),g(tau),dtau

Resposta

y(t) = integral0^t 1k,sinhl(k,(t-tau)r),g(tau),dtau

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