(a) Prove que M d x+N d y=0 tem um fator integrante que depende somente da soma x+y se e somente se a expressão
partial N / partial x-partial M / partial yM-N
depender somente de x+y.
(b) x^2+4 y^2=c
(c) 2 y^2 ln y-y^2+2 x^2=c
(d) 2 x^2+y^2=c

Passo 1

O enunciado divide-se em duas partes.
(a) Queremos mostrar que a equação diferencial
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
admite um fator integrante mu que dependa apenas de t = x+y se, e somente se, a quantidade
partial Npartial x-partial Mpartial y,M - N,
depender unicamente de t=x+y.
(b), (c), (d) aparecem apenas como soluções implícitas x^2+4y^2=C, etc., mas não foram dadas as equações diferenciais originais. Logo, sem conhecer M e N correspondentes, não há como reconstruir esses casos.

Passo 2

Suponha que exista mu(t), com t=x+y, tal que mu(t)M,dx+mu(t)N,dy seja exata. Então vale
partialpartial yl[mu(t),Mr] ;=; partialpartial xl[mu(t),Nr]
Como mu depende só de t, temos
partialpartial y[mu M] =mu,partial Mpartial y + mu'(t),partial tpartial y,M =mu,My + mu',M,
partialpartial x[mu N] =mu,partial Npartial x + mu'(t),partial tpartial x,N =mu,Nx + mu',N
Igualando-os:
mu,My + mu',M = mu,Nx + mu',N ;;Longrightarrow;; mu,(My - Nx) = mu',(N - M)
Dividindo por mu,(N-M) (assumindo Mneq N), obtém-se
mu'mu = My - Nx,N - M, = -l(Nx - Myr),N - M, = Nx - My,M - N,
O lado esquerdo mu'/mu depende só de t; portanto, para existir mu(t) devemos ter
Nx - My,M - N, ;funcão de t=x+y ã

Passo 3

Agora a recíproca. Se
R(x,y)=Nx - My,M - N,
é função apenas de t=x+y, digamos R(t), então a equação
mu'mu=R(t)
é uma equação ordinária em mu(t). Sua solução geral é
mu(t)=expl(integral R(t),dtr),
que de fato depende apenas de t. E por construção essa mu torna mu M,dx+mu N,dy exata.

Passo 4

Concluímos, pois, que
M,dx + N,dy=0
tem fator integrante mu(x+y) se, e somente se,
Nx - My,M - N,
for função de x+y.

Passo 5

Quanto aos itens (b), (c) e (d), só estão listadas as soluções implícitas sem que se tenha informado as funções M(x,y) e N(x,y) de cada equação. Sem conhecê-las, não podemos aplicar o critério do fator integrante e, portanto, não há como reconstruir nem verificar aqueles casos.

Resposta

(a) Vimos que a condição necessária e suficiente para existir um fator integrante mu dependendo apenas de x+y é exatamente que
partial Npartial x-partial Mpartial y,M-N,
dependa somente de x+y.
(b), (c), (d) Não é possível resolver por falta das equações diferenciais correspondentes.

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