(a) Prove que
tem um fator integrante que depende somente da soma
se e somente se a expressão
depender somente de
.
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado divide-se em duas partes.
(a) Queremos mostrar que a equação diferencial
(a) Queremos mostrar que a equação diferencial
admite um fator integrante
que dependa apenas de
se, e somente se, a quantidade
depender unicamente de
.
(b), (c), (d) aparecem apenas como soluções implícitas , etc., mas não foram dadas as equações diferenciais originais. Logo, sem conhecer
e
correspondentes, não há como reconstruir esses casos.
(b), (c), (d) aparecem apenas como soluções implícitas
Passo 2
Suponha que exista
, com
, tal que
seja exata. Então vale
Como
depende só de
, temos
Igualando-os:
Dividindo por
(assumindo
), obtém-se
O lado esquerdo
depende só de
; portanto, para existir
devemos ter
Passo 3
Agora a recíproca. Se
é função apenas de
, digamos
, então a equação
é uma equação ordinária em
. Sua solução geral é
que de fato depende apenas de
. E por construção essa
torna
exata.
Passo 4
Concluímos, pois, que
tem fator integrante
se, e somente se,
for função de
.
Passo 5
Quanto aos itens (b), (c) e (d), só estão listadas as soluções implícitas sem que se tenha informado as funções
e
de cada equação. Sem conhecê-las, não podemos aplicar o critério do fator integrante e, portanto, não há como reconstruir nem verificar aqueles casos.
Resposta
(a) Vimos que a condição necessária e suficiente para existir um fator integrante
dependendo apenas de
é exatamente que
dependa somente de
.
(b), (c), (d) Não é possível resolver por falta das equações diferenciais correspondentes.
(b), (c), (d) Não é possível resolver por falta das equações diferenciais correspondentes.