Nos problemas 5-12, use o teorema da convolução para achar a transformada de Laplace inversa da função dada.
1(s^2+4)^2

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
1l(s^2+4r)^2
usando o teorema da convolução. Vamos precisar do fato de que
Lsin(2t)(s)=2s^2+4
e do enunciado do teorema da convolução para transformadas de Laplace.

Passo 2

Note que
1s^2+4 =12,Lsin(2t)(s)
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1l(s^2+4r)^2 =12,Lsin(2t)(s);times;12,Lsin(2t)(s) =14,l[Lsin(2t)(s)r]^2

Passo 3

Pelo teorema da convolução, se F(s)=F1(s),F2(s) então
L^-1F(s)(t) =integral0^tf1(tau),f2(t-tau),dtau
Aqui f1(t)=sin(2t) e f2(t)=sin(2t), com um fator global 1/4. Assim
f(t) =L^-1l1(s^2+4)^2r(t) =14,integral0^tsin(2tau),sinl(2(t-tau)r),dtau

Passo 4

Para calcular a integral, usamos a identidade
sin A,sin B =tfrac12l[cos(A-B)-cos(A+B)r]
Com A=2tau e B=2(t-tau) vem
sin(2tau),sinl(2(t-tau)r) =tfrac12l[cosl(4tau-2tr)-cos(2t)r]
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integral0^tsin(2tau),sin(2(t-tau)),dtau =tfrac12integral0^tcos(4tau-2t),dtau -tfrac12integral0^tcos(2t),dtau

Passo 5

Calculamos separadamente:
integral0^tcos(4tau-2t),dtau =14sin(4tau-2t)|0^t =14l[sin(2t)-sin(-2t)r] =tfrac12sin(2t),
integral0^tcos(2t),dtau =t,cos(2t)
Substituindo em (3):
integral0^tsin(2tau),sin(2(t-tau)),dtau =tfrac12l(tfrac12sin(2t)r)-tfrac12l(tcos(2t)r) =tfrac14sin(2t)-tfract2cos(2t)
Multiplicando pelo fator 1/4 externo, obtemos
f(t) =14l(tfrac14sin(2t)-tfract2cos(2t)r) =116sin(2t)-t8cos(2t)

Resposta

L^-1l1(s^2+4)^2r(t) =116,sin(2t);-;t8,cos(2t)

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