Nos problemas 5-12, use o teorema da convolução para achar a transformada de Laplace inversa da função dada.
1s^3(s^2+1)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
1s^3,(s^2+1)
usando o teorema da convolução. O conteúdo envolvido é a propriedade de que, se
F(s)=F1(s),F2(s),
então
L^-1F(s)(t)=(f1*f2)(t)=integral0^tf1(tau),f2(t-tau),dtau,
onde fi(t)=L^-1Fi(s)(t).

Passo 2

Separamos
1s^3,(s^2+1) =1s^3;cdot;1s^2+1
Então
f1(t)=L^-1l1s^3r(t) =t^22, f2(t)=L^-1l1s^2+1r(t) =sin t

Passo 3

Pelo teorema da convolução,
f(t) =(f1*f2)(t) =integral0^ttau^22,sinl(t-taur),dtau

Passo 4

Para calcular
integral0^ttau^2,sin(t-tau),dtau
fazemos a mudança de variável u=t-tau e expandimos (t-u)^2. Após integrar por partes em cada termo, chega-se a
integral0^ttau^2,sin(t-tau),dtau = t^2 + 2cos t -2
Como havia fator 1/2, obtemos
f(t)=12l(t^2+2cos t-2r) =t^22+cos t-1

Resposta

L^-1l1s^3(s^2+1)r(t) =t^22+cos t-1

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