Nos problemas 5-12, use o teorema da convolução para achar a transformada de Laplace inversa da função dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada de Laplace inversa da função
, usando o teorema da convolução. Isso está dentro do conteúdo de transformadas de Laplace, especificamente aplicando o teorema da convolução. Para resolver, vamos precisar entender como decompor a função em partes mais simples e aplicar o teorema que liga a transformação inversa com a convolução de funções no domínio do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a função que precisamos inverter:
A dica do enunciado nos mostra que
. Vamos usar isso para reescrever nossa função:
Então, podemos dividir essa fração em duas partes:
Passo 3
Agora, precisamos achar a transformada inversa de cada parte separadamente. Sabemos que:
Portanto:
E para a segunda parte,
, vamos aplicar a convolução. O teorema da convolução diz que:
Aqui,
e
.
Passo 4
Primeiro, encontramos as transformadas inversas individuais:
E já vimos que:
Agora, aplicando a convolução:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Integrando:
Passo 6
Agora, juntamos tudo:
A transformada inversa da primeira parte é
e da segunda parte é
. Somando elas:
Resposta
A transformada de Laplace inversa de
é: