Nos problemas 5-12, use o teorema da convolução para achar a transformada de Laplace inversa da função dada.
s(s-1)(s+2)[Dica: ss-1=1+1s-1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada de Laplace inversa da função s(s-1)(s+2), usando o teorema da convolução. Isso está dentro do conteúdo de transformadas de Laplace, especificamente aplicando o teorema da convolução. Para resolver, vamos precisar entender como decompor a função em partes mais simples e aplicar o teorema que liga a transformação inversa com a convolução de funções no domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a função que precisamos inverter:
s(s-1)(s+2)
A dica do enunciado nos mostra que ss-1 = 1 + 1s-1. Vamos usar isso para reescrever nossa função:
s(s-1)(s+2) = 1 + 1s-1s+2
Então, podemos dividir essa fração em duas partes:
1s+2 + 1(s-1)(s+2)

Passo 3

Agora, precisamos achar a transformada inversa de cada parte separadamente. Sabemos que:
L^-11s+a = e^-at
Portanto:
L^-11s+2 = e^-2t
E para a segunda parte, 1(s-1)(s+2), vamos aplicar a convolução. O teorema da convolução diz que:
L^-1F(s)G(s) = f(t) * g(t) = integral0^t f(tau) g(t - tau) dtau
Aqui, F(s) = 1s-1 e G(s) = 1s+2.

Passo 4

Primeiro, encontramos as transformadas inversas individuais:
L^-11s-1 = e^t
E já vimos que:
L^-11s+2 = e^-2t
Agora, aplicando a convolução:
e^t * e^-2t = integral0^t e^tau e^-2(t - tau) dtau

Passo 5

Vamos resolver a integral:
integral0^t e^tau e^-2(t - tau) dtau = e^-2t integral0^t e^tau e^2tau dtau = e^-2t integral0^t e^3tau dtau
Integrando:
e^-2t [ e^3tau3 ]0^t = e^-2t ( e^3t - 13 ) = e^t - e^-2t3

Passo 6

Agora, juntamos tudo:
A transformada inversa da primeira parte é e^-2t e da segunda parte é e^t - e^-2t3. Somando elas:
e^-2t + e^t - e^-2t3 = 3e^-2t + e^t - e^-2t3 = e^t + 2e^-2t3

Resposta

A transformada de Laplace inversa de s(s-1)(s+2) é:
f(t) = e^t + 2e^-2t3

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