Nos Problemas 19-22, resolva cada equação diferencial pelo método dos coeficientes indeterminados.
y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}=6

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de terceira ordem
y''' - y'' = 6
pelo método dos coeficientes indeterminados. O conteúdo da matéria é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver vamos precisar (1) encontrar a solução geral da homogênea usando a equação característica e (2) encontrar uma solução particular adequando um polinômio ao termo não homogêneo constante.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y''' - y'' = 0
e montamos a equação característica associada
r^3 - r^2 = 0.

Passo 3

Resolvendo
r^2(r - 1) = 0
obtemos as raízes r=0 (multiplicidade 2) e r=1. Logo, a solução geral da homogênea é
y_h = C_{1} + C_{2}\,x + C_{3}\,e^{x}.

Passo 4

Como o termo não homogêneo é a constante 6, tentamos uma solução particular polinomial de grau 2, pois grau menor aparece na homogênea. Seja
y_p = A\,x^{2}.
Então
y_p' = 2A\,x,\quad y_p'' = 2A,\quad y_p''' = 0.
Substituindo em y'''-y''=6
0 - 2A = 6 \quad\Longrightarrow\quad A = -3.
Logo
y_p = -3\,x^{2}.

Passo 5

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y = y_h + y_p = C_{1} + C_{2}\,x + C_{3}\,e^{x} - 3\,x^{2}.

Resposta

y = C_{1} + C_{2}\,x + C_{3}\,e^{x} - 3\,x^{2}.

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