Em relação ao Exemplo 19 em aula (decaimento radioativo em cascata):
Determine o instante t max em que rhoB(t) atinge seu valor máximo (faça o gráfico de rhoB(t) ). Resposta: Se kA=kB, tmax =1 / kA; se kA neq kB, t max =ln (kB / kA) /(kB-kA).

Passo 1

O enunciado trata do decaimento em cascata Ato Bto C com constantes de decaimento kA e kB. A densidade normalizada de A é
rhoA(t)=e^-kA t,
e a de B satisfaz
drhoBdt=kA,rhoA(t)-kB,rhoB(t),
com rhoB(0)=0. Queremos achar o instante tmax em que rhoB(t) atinge o seu valor máximo.

Passo 2

Resolvendo a equação diferencial para rhoB(t):
Se kAneq kB, a solução é
rhoB(t) =kAkB-kAl(e^-kA t-e^-kB tr)
Se kA=kB, fazemos limite kBto kA e obtemos
rhoB(t)=kA,t,e^-kA t

Passo 3

Para kAneq kB, calculamos
drhoBdt =kAkB-kAl(-kA,e^-kA t+kB,e^-kB tr)
e impomos drhoBdt=0, o que dá
kB,e^-kB t=kA,e^-kA t Longrightarrow e^(kB-kA)t=kBkA Longrightarrow tmax =ln!l(tfrackBkAr)kB-kA

Passo 4

Para kA=kB, usamos rhoB(t)=kA,t,e^-kA t. Então
drhoBdt =kA e^-kA t(1-kA t)=0 Longrightarrow 1-kA t=0 Longrightarrow tmax=1kA

Passo 5

O gráfico de rhoB(t) sobe desde zero, atinge um pico em tmax dado acima e depois decai exponencialmente. Para kA<kB o pico ocorre mais tarde e é menor; para kA>kB o pico é mais cedo e mais alto.

Resposta

Se kA=kB,
tmax=1kA
Se kAneq kB,
tmax =ln!l(tfrackBkAr)kB-kA

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