Nos problemas de 13 a 20 , encontre a solução do problema de valor inicial dado.
t^prime+2 y=sen t, y(pi / 2)=1, t>0

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
y' + 2y = sin t, yl(tfracpi2r)=1, t>0
Isto é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(t) como
mu(t)=expl(integral 2,dtr)=e^2t

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(t) obtemos
e^2ty' + 2e^2ty = e^2tsin t Longrightarrow ddtl(e^2tyr)=e^2tsin t

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
e^2ty=integral e^2tsin t,dt + C
Para calcular integral e^2tsin t,dt usamos a fórmula padrão
integral e^atsin(bt),dt =e^ata^2+b^2l(asin(bt)-bcos(bt)r),
com a=2 e b=1. Logo
integral e^2tsin t,dt =e^2t2^2+1^2l(2sin t - cos tr) =e^2t5(2sin t - cos t)

Passo 5

Substituindo na expressão de e^2ty e isolando y, obtemos a solução geral
e^2ty =e^2t5(2sin t - cos t) + C Longrightarrow y(t)=2sin t - cos t5 + Ce^-2t

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(pi/2)=1. Como sin(pi/2)=1 e cos(pi/2)=0,
1 = yl(tfracpi2r) =2cdot1-05 + C e^-2cdot(pi/2) =25 + C e^-pi
Logo
C e^-pi = 1 - 25 = 35 Longrightarrow C = 35e^pi

Resposta

y(t)=2sin t - cos t5 + 35e^pi-2t

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