Questão 12 Considere a sequência numérica definida por:
a_{1}=a, \quad a_{n+1}=\frac{4 a_{n}}{2+a_{n}^{2}}, \quad \text { para } n \geq 1
Use o princípio de indução finita e mostre que a_{n}<\sqrt{2}, para todo número natural n \geq 1 e para 0<a<\sqrt{2}, seguindo os passos indicados nos itens a seguir:
i. Mostre que s=\frac{4 a}{2+a^{2}}>0 para todo a>0;
ii. Prove que s^{2}<2 para todo 0<a<\sqrt{2};
iii. Conclua a prova por indução;
iv. Suponha que a_{n}<\sqrt{2} e prove que a_{n+1}<\sqrt{2};
v. Conclua a prova por indução.

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_{1}=a,\quad a_{n+1}=\frac{4a_{n}}{2+a_{n}^{2}}\quad(n\ge1)
e quer mostrar que, para 0<a<\sqrt{2}, vale
a_{n}<\sqrt{2}\quad\forall n\in\mathbb{N},
usando indução finita. Vamos primeiro estudar a função iterativa
s(x)=\frac{4x}{2+x^{2}}
e depois aplicar o princípio de indução.

Passo 2

Mostramos que s(x)>0 para todo x>0. De fato, se x>0 então o numerador 4x>0 e o denominador 2+x^{2}>0, logo
s(x)=\frac{4x}{2+x^{2}}>0.

Passo 3

Mostramos que s(x)^{2}<2 sempre que 0<x<\sqrt{2}. Começamos com
s(x)^{2}=\frac{16x^{2}}{(2+x^{2})^{2}}<2
se, e somente se,
16x^{2}<2\,(2+x^{2})^{2}=2\bigl(4+4x^{2}+x^{4}\bigr)=8+8x^{2}+2x^{4}.
Reagrupando, isso equivale a
0<8+8x^{2}+2x^{4}-16x^{2}=8-8x^{2}+2x^{4}=2(x^{2}-2)^{2},
que é verdadeiro sempre que x\neq\sqrt{2}. Em particular, para 0<x<\sqrt{2} temos s(x)^{2}<2.

Passo 4

(Base da indução) Para n=1, temos a_{1}=a e, por hipótese, 0<a<\sqrt{2}. Então
a_{1}<\sqrt{2},
ou seja, a propriedade vale para n=1.

Passo 5

(Passo indutivo) Suponha que para um certo n\ge1 valha a_{n}<\sqrt{2} e a_{n}>0. Então, aplicando s em x=a_{n}, pelo Passo 2 temos a_{n+1}=s(a_{n})>0 e pelo Passo 3 temos
a_{n+1}^{2}=s(a_{n})^{2}<2,
ou seja, a_{n+1}<\sqrt{2}. Assim, a propriedade se propaga de n para n+1.

Passo 6

Pela base (Passo 4) e pelo passo indutivo (Passo 5), segue por indução finita que
a_{n}<\sqrt{2}\quad\forall n\ge1.

Resposta

Para todo número natural n\ge1, tem-se a_{n}<\sqrt{2}.

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