Questão 12 Considere a sequência numérica definida por:
Use o princípio de indução finita e mostre que
, para todo número natural
e para
, seguindo os passos indicados nos itens a seguir:
i. Mostre que
para todo
;
ii. Prove que
para todo
;
iii. Conclua a prova por indução;
iv. Suponha que
e prove que
;
v. Conclua a prova por indução.
i. Mostre que
ii. Prove que
iii. Conclua a prova por indução;
iv. Suponha que
v. Conclua a prova por indução.
Passo 1
O enunciado define a sequência
e quer mostrar que, para
, vale
usando indução finita. Vamos primeiro estudar a função iterativa
e depois aplicar o princípio de indução.
Passo 2
Mostramos que
para todo
. De fato, se
então o numerador
e o denominador
, logo
Passo 3
Mostramos que
sempre que
. Começamos com
se, e somente se,
Reagrupando, isso equivale a
que é verdadeiro sempre que
. Em particular, para
temos
.
Passo 4
(Base da indução) Para
, temos
e, por hipótese,
. Então
ou seja, a propriedade vale para
.
Passo 5
(Passo indutivo) Suponha que para um certo
valha
e
. Então, aplicando
em
, pelo Passo 2 temos
e pelo Passo 3 temos
ou seja,
. Assim, a propriedade se propaga de
para
.
Passo 6
Pela base (Passo 4) e pelo passo indutivo (Passo 5), segue por indução finita que
Resposta
Para todo número natural
, tem-se
.