Nos problemas de 14 a 24, calcule a derivada de cada função com auxílio da regra da cadeia.
g(x)=(3 x^2+7)^2(5-3 x)^3

Passo 1

Temos a função g(x) = (3x^2 + 7)^2,(5 - 3x)^3. O conteúdo envolvido é a regra do produto (pois é produto de duas funções) e a regra da cadeia (pois cada fator é uma função composta).

Passo 2

Para aplicar a regra do produto, defino
f(x) = (3x^2 + 7)^2,
h(x) = (5 - 3x)^3

Passo 3

Calculo agora a derivada de f(x) usando a regra da cadeia. Seja u = 3x^2 + 7, então f(x) = u^2 e
f'(x) = 2u ,cdot, u' = 2(3x^2 + 7) cdot 6x = 12x(3x^2 + 7)

Passo 4

Calculo a derivada de h(x) também pela regra da cadeia. Seja v = 5 - 3x, então h(x) = v^3 e
h'(x) = 3v^2 ,cdot, v' = 3(5 - 3x)^2 cdot (-3) = -9(5 - 3x)^2

Passo 5

Agora aplico a regra do produto:
g'(x) = f'(x),h(x) + f(x),h'(x)
Substituindo as derivadas:
g'(x) = 12x(3x^2+7)(5-3x)^3 - 9(3x^2+7)^2(5-3x)^2

Passo 6

Para simplificar, fatoro o que é comum: 3(3x^2+7)(5-3x)^2. Isso deixa
g'(x) = 3(3x^2+7)(5-3x)^2l[4x(5-3x) - 3(3x^2+7)r]

Resposta

g'(x) = 3(3x^2+7)(5-3x)^2l[4x(5-3x) - 3(3x^2+7)r]

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