Nos problemas de 14 a 24, calcule a derivada de cada função com auxílio da regra da cadeia.
g(y)=(7 y+3)^-2(2 y-1)^4

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função g(y) = (7y+3)^{-2} (2y−1)^{4}. O conteúdo principal aqui é derivação de um produto de funções, usando a regra do produto e, para cada fator, a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos chamar f(y) = (7y+3)^{-2} e h(y) = (2y−1)^{4}. A regra do produto diz que
(g(y))' = f'(y),h(y) + f(y),h'(y)

Passo 3

Para calcular f’(y) usamos a regra da cadeia: derivada de (u)^{-2} é −2 u^{−3} · u’. Aqui u = 7y+3 e u’ = 7. Logo,
f'(y) = -2(7y+3)^-3cdot 7 = -14,(7y+3)^-3

Passo 4

Para calcular h’(y) também usamos a regra da cadeia: derivada de (v)^{4} é 4 v^{3} · v’. Aqui v = 2y−1 e v’ = 2. Logo,
h'(y) = 4(2y-1)^3cdot 2 = 8,(2y-1)^3

Passo 5

Substituindo f’(y) e h’(y) na regra do produto temos
g'(y) = [-14,(7y+3)^-3],(2y-1)^4 + (7y+3)^-2,[8,(2y-1)^3]

Passo 6

Agora vamos fatorar os termos comuns (7y+3){-3}(2y-1){3} em cada parcela:
g'(y) = (7y+3)^-3(2y-1)^3l[-14(2y-1) + 8(7y+3)r]

Passo 7

Calculando o que está no colchete:
-14(2y-1) + 8(7y+3) = -28y +14 +56y +24 = 28y +38 = 2(14y+19)

Passo 8

Substituindo de volta e escrevendo de forma mais enxuta, obtemos a derivada final:

Passo 9

Resposta

g'(y) = 2(14y+19)(2y-1)^3(7y+3)^3

Exercícios relacionados