Nos problemas 1-14, resolva o problema de valor inicial dado usando o método de transformadas de Laplace.
y^prime prime+y=t ; y(pi)=0, y^prime(pi)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + y = t, y(pi)=0, y'(pi)=0
usando transformada de Laplace. Como as condições iniciais estão em t=pi, vamos fazer um deslocamento de variável para levar as condições para u=0. Precisamos das propriedades de transformada de derivadas e da troca de variável.

Passo 2

Definimos a nova variável
u = t - pi,
e a função
Y(u) = y(u+pi)
Então
;Y(0)=y(pi)=0; e ;Y'(0)=y'(pi)=0,
e a equação em u fica
Y''(u) + Y(u) = (u+pi) = u + pi

Passo 3

Aplicamos a transformada de Laplace em u. Usando
LY''(s) = s^2Y(s), LY(s)=Y(s),
Lu(s)=1s^2, Lpi(s)=pis,
obtemos
s^2Y(s) + Y(s) ;=;1s^2 + pis,
ou seja
Y(s);=;1s^2(s^2+1) ;+;pis,(s^2+1)

Passo 4

Fazemos frações parciais em cada termo:
1s^2(s^2+1) = 1s^2 ;-;1s^2+1, pis(s^2+1) = pis ;-;pi,ss^2+1
Logo
Y(s) = 1s^2 + pis ;-;1s^2+1 - pi,ss^2+1

Passo 5

Invertemos termo a termo:
L^-1tfrac1s^2=u, L^-1tfracpis=pi, L^-1!-tfrac1s^2+1=-sin u, L^-1!-tfracpi,ss^2+1=-picos u
Assim
Y(u)=u + pi - sin u - picos u

Passo 6

Voltando à variável original t, temos u=t-pi, então para t>=pi:
y(t) = (t-pi) + pi - sin(t-pi) - picos(t-pi) = t ;-;sinl(t-pir);-;picosl(t-pir)

Resposta

boxedy(t)=t - sinl(t-pir) - picosl(t-pir), t>=pi

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