Nos problemas 15 e 16, calcular o módulo de cada um dos vetores do \mathbb{R}^{3}, em relação ao produto interno v_{1} \cdot v_{2}=4 \mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}+2 \mathrm{y}_{1} \mathrm{y}_{2}+\mathrm{z}_{1} \mathrm{z}_{2}, sendo v_{1}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) e v_{2}=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right).
v=(3,-1,4)

Passo 1

O enunciado pede o módulo (norma) do vetor \,v=(3,-1,4)\in\mathbb{R}^3 associado ao produto interno
\langle v_{1},v_{2}\rangle \;=\;4\,x_{1}x_{2}+2\,y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}.
Para resolver, vamos usar a definição de norma induzida por um produto interno, isto é,
\|v\| \;=\;\sqrt{\langle v,v\rangle}\,.

Passo 2

Calcular primeiro o valor de \langle v,v\rangle substituindo v=(3,-1,4):
\langle v,v\rangle \;=\;4\cdot3^2 \;+\;2\cdot(-1)^2 \;+\;4^2 \;=\;4\cdot9 \;+\;2\cdot1 \;+\;16 \;=\;36+2+16 \;=\;54.

Passo 3

Agora aplicamos a raiz quadrada para obter a norma e simplificamos:
\|v\| \;=\;\sqrt{54} \;=\;\sqrt{9\cdot6} \;=\;3\sqrt{6}.

Resposta

\displaystyle 3\sqrt{6}

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