Nos Problemas 15-18, calcule integralC(2 x+y) d x+x y d y na curva dada, de (-1,2) a (2,5).
y=x^2+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC(2x+y),dx + x y,dy ao longo da curva definida por y=x^2+1 de (-1,2) a (2,5). O conteúdo aqui é integral de linha de primeira espécie e vamos parametrizar a curva para substituir no integrando.

Passo 2

Parametrizamos a curva por x=t, y=t^2+1, com t variando de -1 a 2. Assim, temos dx=dt e dy=2t,dt.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos:
integralC(2x+y),dx + x y,dy = integral-1^2l(2t + (t^2+1)r),dt + integral-1^2 t(t^2+1)cdot2t,dt

Passo 4

Simplificando cada termo: no primeiro integrando 2t + t^2+1 = (t+1)^2 e no segundo t(t^2+1)cdot2t = 2t^2(t^2+1) = 2t^4+2t^2. Somando, o integrando fica
2t^4 + 2t^2 + t^2 + 2t + 1 = 2t^4 + 3t^2 + 2t + 1

Passo 5

A integral então é
integral-1^2 (2t^4 + 3t^2 + 2t + 1),dt
Para integrar, usamos as fórmulas integral t^n,dt = t^n+1/(n+1), integral t,dt = t^2/2 e integral1,dt = t. O antiderivado é
25t^5 + t^3 + t^2 + t

Passo 6

Agora avaliamos nos limites. Para t=2:
25cdot2^5 + 2^3 + 2^2 + 2 = 645 + 8 + 4 + 2 = 1345
Para t=-1:
25(-1)^5 + (-1)^3 + (-1)^2 + (-1) = -25 -1 +1 -1 = -75
Subtraindo, vem
1345 - l(-75r) = 1415

Resposta

1415

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