Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:
sumn=1^infty raiz[3]n+2raiz[4]n^3+3 raiz[5]n^3+5

Passo 1

A série em questão é sumn=1^inftyan, onde
an = raiz[3]n+2raiz[4]n^3+3,raiz[5]n^3+5
O conteúdo aqui envolve séries numéricas e vamos usar o teste de comparação limite com uma p-série.

Passo 2

Para ver o comportamento de an quando ntoinfty, fatoramos potências de n:
raiz[3]n+2=(n)^1/3(1+2/n)^1/3,
raiz[4]n^3+3=n^3/4(1+3/n^3)^1/4,
raiz[5]n^3+5=n^3/5(1+5/n^3)^1/5
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an = n^1/3 - (3/4+3/5)cdot (1+2/n)^1/3(1+3/n^3)^1/4(1+5/n^3)^1/5
Calculamos o expoente:
13-34-35=20-8160=-6160
Isso mostra que ansim n^-61/60

Passo 3

Escolhemos a p-série bn=1/n^61/60. Como p=61/60>1, sabemos que sum bn converge. Aplicando o teste de comparação limite:
limntoinftyanbn=limntoinftyn^61/60an=1,
com isso, sum an e sum bn têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 4

Como a p-série sum 1/n^61/60 converge (pois 61/60>1), concluímos que a série dada também converge.

Resposta

A série é convergente.

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