Nos Problemas 15-18, escreva na forma o número complexo cuja forma polar é dada. Use uma calculadora, se necessário.

Passo 1

O enunciado pede para transformar o número complexo dado em forma polar z=5(costfrac7pi6+isintfrac7pi6) na forma retangular a+ib. O conteúdo aqui é números complexos e conversão de forma polar para retangular.

Passo 2

Para converter da forma polar z=r(costheta+isintheta) para a forma a+ib, usamos que a parte real é a=rcostheta e a parte imaginária é b=rsintheta.

Passo 3

Precisamos dos valores trigonométricos em theta=tfrac7pi6. Como tfrac7pi6=pi+tfracpi6 está no terceiro quadrante, vale
$$\cos\tfrac{7\pi}{6}=-\cos\tfrac{\pi}{6}=-\tfrac{\sqrt{3}}{2},\quad\sin\tfrac{7\pi}{6}=-\sin\tfrac{\pi}{6}=-\tfrac{1}{2}.
$$

Passo 4

Multiplicar pelo módulo r=5: obtemos a=5cdotl(-tfracraiz32r)=-tfrac5raiz32 e b=5cdotl(-tfrac12r)=-tfrac52. Juntando, temos a forma retangular.

Resposta

z=-tfrac5raiz32-tfrac52i

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