As sequências seguintes são convergentes? Se possível, achar o limite.
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Passo 1
O enunciado pede para verificar se a sequência
é convergente e, se for, determinar seu limite. O tema aqui é comportamento de sequências envolvendo crescimento exponencial versus polinomial. Uma sequência
converge se o limite
existir e for finito. Sabemos da teoria que funções exponenciais
com
crescem muito mais rápido que qualquer polinômio em
.
Passo 2
Pela comparação qualitativa, como
cresce muito mais rápido que
, o quociente
tende a aumentar sem limite quando
. Para formalizar, usamos o teste da razão:
e
. Quando essa razão de termos sucessivos é maior que 1, a sequência diverge para
.
Resposta
A sequência diverge e
.