As sequências seguintes são convergentes? Se possível, achar o limite.
un=3^nn;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência un=3^nn é convergente e, se for, determinar seu limite. O tema aqui é comportamento de sequências envolvendo crescimento exponencial versus polinomial. Uma sequência (un) converge se o limite limntoinftyun existir e for finito. Sabemos da teoria que funções exponenciais a^n com a>1 crescem muito mais rápido que qualquer polinômio em n.

Passo 2

Pela comparação qualitativa, como 3^n cresce muito mais rápido que n, o quociente 3^nn tende a aumentar sem limite quando ntoinfty. Para formalizar, usamos o teste da razão:
un+1un=3^n+1/(n+1)3^n/n=3cdotnn+1,,
e limntoinfty3cdotnn+1=3>1. Quando essa razão de termos sucessivos é maior que 1, a sequência diverge para +infty.

Resposta

A sequência diverge e limntoinftyun=+infty.

Exercícios relacionados