As sequências seguintes são convergentes? Se possível, achar o limite.
un=n^3+5 n5 n^3+n^2 cos (n)+3;

Passo 1

Nesse exercício a gente tem a sequência un = n^3 + 5n5n^3 + n^2cos(n) + 3. O conteúdo aqui é limite de sequência do tipo racional, e vamos precisar usar a ideia de comparar o grau de cada termo em n dividindo numerador e denominador pelo maior grau, que é n^3.

Passo 2

Vamos dividir numerador e denominador por n^3. Assim, reescrevemos un como
$$\nu_n = \frac{n^3 + 5n}{5n^3 + n^2\cos(n) + 3} = \frac{\frac{n3}{n3} + \frac{5n}{n3}}{\frac{5n3}{n^3} + \frac{n2\cos(n)}{n3} + \frac{3}{n^3}} = \frac{1 + 5/n^2}{5 + \cos(n)/n + 3/n^3}.
$$

Passo 3

Agora, quando n to infty, os termos de ordem inferior vão a zero: temos 5/n^2 to 0, cos(n)/n to 0 (já que |cos(n)|<=1) e 3/n^3 to 0. Logo a fração tende a
$$\frac{1 + 0}{5 + 0 + 0} = \frac{1}{5}.
$$

Passo 4

Concluímos que un converge e que o limite é 1/5.

Resposta

A sequência converge e limntoinftyun = tfrac15.

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