As sequências seguintes são convergentes? Se possível, achar o limite.
;
Passo 1
Nesse exercício a gente tem a sequência
. O conteúdo aqui é limite de sequência do tipo racional, e vamos precisar usar a ideia de comparar o grau de cada termo em
dividindo numerador e denominador pelo maior grau, que é
.
Passo 2
Vamos dividir numerador e denominador por
. Assim, reescrevemos
como
$$\nu_n = \frac{n^3 + 5n}{5n^3 + n^2\cos(n) + 3} = \frac{\frac{n3}{n3} + \frac{5n}{n3}}{\frac{5n3}{n^3} + \frac{n2\cos(n)}{n3} + \frac{3}{n^3}} = \frac{1 + 5/n^2}{5 + \cos(n)/n + 3/n^3}.
$$
Passo 3
Agora, quando
, os termos de ordem inferior vão a zero: temos
,
(já que
) e
. Logo a fração tende a
$$\frac{1 + 0}{5 + 0 + 0} = \frac{1}{5}.
$$
Passo 4
Concluímos que
converge e que o limite é
.
Resposta
A sequência converge e
.