Nos problemas 15-22, resolva a equação integral dada ou a equação integro-diferencial para y(t).
y(t)+integral0^t e^t-v y(v) d v=sen t

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação integral de Volterra de segunda espécie
y(t) + integral0^t e^t - v,y(v),dv = sin t
O conteúdo que vamos usar é a transformada de Laplace para equações com convolução, pois ela transforma a convolução em produto de transformadas.

Passo 2

Tomamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Denotando Y(s)=Ly(t) e sabendo que
Ll!integral0^t e^t - vy(v),dvr =Le^t,Ly(t),
obtemos
Y(s) + Le^t,Y(s) = Lsin t

Passo 3

Calculamos as transformadas conhecidas:
Le^t = 1s-1, Lsin t = 1s^2 + 1
Substituindo na equação do Passo 2 resulta
Y(s) + 1s-1,Y(s) = 1s^2 + 1 Longrightarrow Y(s),l(1 + 1s-1r) = 1s^2 + 1

Passo 4

Reescrevendo o fator em parênteses,
1 + 1s-1 = s-1 + 1s-1 = ss-1,
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Y(s),ss-1 = 1s^2 + 1 Longrightarrow Y(s) = s-1s,(s^2 + 1)

Passo 5

Fazemos frações parciais em
s-1s,(s^2+1) = As + Bs + Cs^2 + 1
Igualando numeradores:
s - 1 = A(s^2 + 1) + (Bs + C),s = (A + B),s^2 + C,s + A
Comparando coeficientes:
A + B = 0, C = 1, A = -1 ;;Longrightarrow;; A=-1,;B=1,;C=1
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Y(s) = -1s + s+1s^2 + 1

Passo 6

Aplicando a transformada inversa:
L^-1l-1sr = -1, L^-1lss^2+1r = cos t, L^-1l1s^2+1r = sin t
Somando, obtemos
y(t) = -1 + cos t + sin t

Resposta

boxedy(t) = cos t + sin t - 1

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