Use o método de integração por partes para determinar as seguintes integrais
integral x^2 cos (5 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x^2cos(5x),dx
usando o método de integração por partes. Vamos precisar aplicar esse método duas vezes, pois aparece um polinômio multiplicando uma função trigonométrica.

Passo 2

Na primeira aplicação de integração por partes, escolhemos
u = x^2, dv = cos(5x),dx
Então
du = 2x,dx, v = integral cos(5x),dx = 15sin(5x)
Pela fórmula
integral u,dv = uv - integral v,du,
segue que
integral x^2cos(5x),dx = x^2cdot15sin(5x) - integral 15sin(5x)cdot 2x,dx = x^25sin(5x) - 25integral xsin(5x),dx

Passo 3

Agora resta calcular
integral xsin(5x),dx
Para isso, aplicamos integração por partes uma segunda vez, com
u = x, dv = sin(5x),dx,
de modo que
du = dx, v = integral sin(5x),dx = -15cos(5x)
Logo
integral xsin(5x),dx = xcdotl(-15cos(5x)r) - integral l(-15cos(5x)r),dx = -x5cos(5x) + 15integral cos(5x),dx
E como integral cos(5x),dx = tfrac15sin(5x), obtemos
integral xsin(5x),dx = -x5cos(5x) + 125sin(5x)

Passo 4

Substituindo esse resultado na expressão do Passo 2, temos
integral x^2cos(5x),dx = x^25sin(5x) - 25l( -x5cos(5x) + 125sin(5x) r)

Passo 5

Distribuindo e agrupando os termos em sin(5x) e cos(5x), obtemos
integral x^2cos(5x),dx = x^25sin(5x) + 2x25cos(5x) - 2125sin(5x) + C = 25x^2-2125,sin(5x) + 2x25,cos(5x) + C

Resposta

integral x^2cos(5x),dx = 25x^2-2125,sin(5x) + 2x25,cos(5x) + C

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