Nos problemas 15-22, resolva a equação integral dada ou a equação integro-diferencial para y(t).
y(t)+integral0^t(t-v) y(v) d v=1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação integral de Volterra de segunda espécie
y(t) + integral0^t(t-v),y(v),dv = 1
O conteúdo é equações integrais convolucionais, e vamos usar diferenciação sob o sinal de integral (regra de Leibniz) para converter em uma EDO de segunda ordem.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a t, obtemos
y'(t) + ddtintegral0^t(t-v),y(v),dv = 0
Pela regra de Leibniz,
ddtintegral0^t(t-v),y(v),dv = integral0^t1cdot y(v),dv + (t-t),y(t) = integral0^ty(v),dv
Logo a equação vira
y'(t) + integral0^ty(v),dv = 0

Passo 3

Diferenciando mais uma vez, removemos o termo integral:
y''(t) + y(t) = 0
Essa é uma EDO homogênea de segunda ordem cuja solução geral é
y(t) = Acos t + Bsin t

Passo 4

Usamos condições iniciais extraídas da equação original e da derivada:
Em t=0, da equação original
y(0) + integral0^0(0-v)y(v),dv = 1 Rightarrow y(0)=1 Rightarrow A=1
Em t=0, da equação y'(t)+integral0^ty(v),dv=0
y'(0)+0=0 Rightarrow y'(0)=0 Rightarrow B=0

Resposta

y(t) = cos t

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