Nos problemas 15-22, resolva a equação integral dada ou a equação integro-diferencial para y(t).
y(t)+integral0^t(t-v) y(v) d v=t^2

Passo 1

O enunciado dá a equação integral de Volterra
y(t) + integral0^t (t - v),y(v),dv = t^2,
que é de segunda espécie com núcleo K(t-v)=t-v. Vamos usar a técnica de diferenciar em relação a t duas vezes para transformar isso numa EDO para y(t).

Passo 2

Diferenciando a equação original em relação a t, usando
ddtintegral0^t(t-v)y(v),dv =integral0^tpartialpartial t(t-v),y(v),dv+(t-t)y(t) =integral0^ty(v),dv,
obtemos
y'(t)+integral0^ty(v),dv=2t

Passo 3

Diferenciando novamente, e lembrando que ddtintegral0^ty(v),dv=y(t), resulta
y''(t)+y(t)=2

Passo 4

Agora resolvemos a EDO linear
y''+y=2
com as condições iniciais extraídas de t=0. Da equação original em t=0 vem y(0)=0, e da primeira derivada em t=0 vem y'(0)=0. A solução geral é soma da homogênea Acos t+Bsin t e particular yp=2. Impondo
y(0)=A+2=0implies A=-2,
y'(0)=2sin0+Bcos0=B=0,
ficamos com
y(t)=-2cos t+2=2l(1-cos tr)

Resposta

y(t)=2l(1-cos tr)

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