Resolva os seguintes problemas de valores iniciais
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
, com as condições iniciais
e
. A gente vai usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, a gente encontra a solução geral da equação homogênea. Para isso, vamos supor que a solução tem a forma
, onde
é um número que precisamos descobrir.
Passo 3
Substituindo
na equação diferencial, temos:
Então, a equação fica:
Passo 4
Podemos dividir todos os termos por
(já que
nunca é zero), ficando:
Essa é a chamada equação característica.
Passo 5
Resolvendo
, temos:
Os valores de
são números complexos puros.
Passo 6
Quando as raízes são complexas do tipo
, a solução geral é:
No nosso caso,
e
, então fica:
Passo 7
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
. Primeiro, para
:
Como
, temos
.
Passo 8
Agora, vamos derivar
para usar a segunda condição:
Como
, fica:
Aplicando
:
E sabemos que
, então:
Passo 9
Agora que temos
e
, substituímos na solução geral:
Resposta
A solução do problema é
.