Resolva os seguintes problemas de valores iniciais
y^prime prime+4 y=0, com y(0)=0 e y^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem: y'' + 4y = 0 , com as condições iniciais y(0) = 0 e y'(0) = 1 . A gente vai usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, a gente encontra a solução geral da equação homogênea. Para isso, vamos supor que a solução tem a forma y = e^rt , onde r é um número que precisamos descobrir.

Passo 3

Substituindo y = e^rt na equação diferencial, temos:
y' = r e^rt, y'' = r^2 e^rt
Então, a equação fica:
r^2 e^rt + 4 e^rt = 0

Passo 4

Podemos dividir todos os termos por e^rt (já que e^rt nunca é zero), ficando:
r^2 + 4 = 0
Essa é a chamada equação característica.

Passo 5

Resolvendo r^2 + 4 = 0 , temos:
r^2 = -4 Rightarrow r = pm 2i
Os valores de r são números complexos puros.

Passo 6

Quando as raízes são complexas do tipo alpha pm beta i , a solução geral é:
y(t) = e^alpha t ( C1 cos(beta t) + C2 sin(beta t) )
No nosso caso, alpha = 0 e beta = 2 , então fica:
y(t) = C1 cos(2t) + C2 sin(2t)

Passo 7

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar C1 e C2 . Primeiro, para t = 0 :
y(0) = C1 cos(0) + C2 sin(0) = C1(1) + C2(0) = C1
Como y(0) = 0 , temos C1 = 0 .

Passo 8

Agora, vamos derivar y(t) para usar a segunda condição:
y'(t) = -2 C1 sin(2t) + 2 C2 cos(2t)
Como C1 = 0 , fica:
y'(t) = 2 C2 cos(2t)
Aplicando t = 0 :
y'(0) = 2 C2 cos(0) = 2 C2(1) = 2 C2
E sabemos que y'(0) = 1 , então:
2 C2 = 1 Rightarrow C2 = 12

Passo 9

Agora que temos C1 = 0 e C2 = 12 , substituímos na solução geral:
y(t) = 0 cdot cos(2t) + 12 sin(2t) = 12 sin(2t)

Resposta

A solução do problema é y(t) = dfrac12 sin(2t) .

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