Resolva os seguintes problemas de valores iniciais
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de valores iniciais. A equação que temos é:
E as condições iniciais são
e
. Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos
por
na equação original:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
:
Obtemos uma raiz dupla
.
Passo 4
Como temos uma raiz dupla, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar a primeira condição inicial
:
Então,
.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar
usando a segunda condição inicial
. Primeiro, vamos calcular a derivada de
:
Simplificando:
Agora, aplicando
:
Substituindo
:
Resposta
Portanto, a solução completa da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: