Resolva os seguintes problemas de valores iniciais
y^prime prime-4 y^prime+4 y=0, com y(0)=-2 e y^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de valores iniciais. A equação que temos é:
y'' - 4y' + 4y = 0
E as condições iniciais são y(0) = -2 e y'(0) = 1 . Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos y por e^rx na equação original:
r^2 - 4r + 4 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r :
r = 4 pm raiz(-4)^2 - 4 cdot 1 cdot 42 cdot 1 = 4 pm raiz16 - 162 = 4 pm 02 = 2
Obtemos uma raiz dupla r = 2 .

Passo 4

Como temos uma raiz dupla, a solução geral da equação diferencial é:
y(x) = (C1 + C2 x) e^2x
Aqui, C1 e C2 são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a primeira condição inicial y(0) = -2 :
y(0) = (C1 + C2 cdot 0) e^0 = C1 = -2
Então, C1 = -2 .

Passo 6

Agora, precisamos encontrar C2 usando a segunda condição inicial y'(0) = 1 . Primeiro, vamos calcular a derivada de y(x) :
y'(x) = ddx ( (C1 + C2 x) e^2x ) = C2 e^2x + (C1 + C2 x) cdot 2 e^2x
Simplificando:
y'(x) = (C2 + 2C1 + 2C2 x) e^2x
Agora, aplicando x = 0 :
y'(0) = (C2 + 2C1) e^0 = C2 + 2C1 = 1
Substituindo C1 = -2 :
C2 + 2(-2) = 1 Rightarrow C2 - 4 = 1 Rightarrow C2 = 5

Resposta

Portanto, a solução completa da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
y(x) = (-2 + 5x) e^2x

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