Use o teorema de Stokes para calcular integral duplaS rot F cdot dS, onde
F(x, y, x)=y k e S: sigma(u, v)=(u, v, u^2+v^2) com u^2+v^2 <= 1, com normal apontando para cima;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
integral duplaSl(nablatimesvec Fr)cdot dvec S
em que vec F(x,y,z)=y,vec k e
S:sigma(u,v)=(u,v,u^2+v^2), u^2+v^2<=1,
com a normal apontando para cima.
O conteúdo é o Teorema de Stokes, que transforma essa integral de superfície numa integral de linha ao longo da fronteira de S.

Passo 2

Pelo Teorema de Stokes vale
integral duplaS(nablatimesvec F)cdot dvec S ;=;ointCvec Fcdot dvec r,
onde C=partial S é o círculo u^2+v^2=1 no plano z=1, orientado no sentido anti-horário visto de cima (coerente com a normal para cima).

Passo 3

Parametrizamos
vec r(t)=(cos t,;sin t,;1), tin[0,2pi],
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dvec r=(-sin t,;cos t,;0),dt,
e
vec Fl(vec r(t)r)=y,vec k=sin t,vec k
Assim
vec Fcdot dvec r =sin t,(0),dt =0,
pois d z=0 ao longo de C. Portanto
ointCvec Fcdot dvec r=0

Resposta

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