Racionalize os numeradores das seguintes frações:
Comentário. Você deve estar achando estranho um exercício para racionalizar o numerador. Por acaso você já se perguntou por que racionalizamos o denominador de uma fração? Por que não podemos deixar raízes no denominador? De fato, não há nenhum mal em deixar raízes no denominador. O importante na racionalização é o processo utilizado e saber que uma mesma fração pode ser reescrita de diversas outras formas. Na disciplina de Cálculo, você verá a necessidade de conhecer métodos para reescrever frações removendo raízes do numerador ou do denominador, conforme a situação exigir.
\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{9}

Passo 1

O enunciado pede para racionalizar o numerador da fração
raiz5-raiz29,
ou seja, eliminar a raiz do numerador. Para isso, vamos usar o método de multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador.

Passo 2

O conjugado de raiz5-raiz2 é raiz5+raiz2. Multiplicamos a fração por
raiz5+raiz2raiz5+raiz2
de modo a não alterar seu valor:
raiz5-raiz29;times;raiz5+raiz2raiz5+raiz2

Passo 3

Calculamos o novo numerador usando a diferença de quadrados:
(raiz5-raiz2)(raiz5+raiz2) =(raiz5)^2 - (raiz2)^2 =5 - 2 =3

Passo 4

O novo denominador fica
9(raiz5+raiz2)
Portanto a fração passa a ser
39(raiz5+raiz2)
Podemos simplificar o fator 3 em cima e embaixo:
39(raiz5+raiz2) =13(raiz5+raiz2)

Resposta

13(raiz5+raiz2)

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