Nos Problemas 9-16 (a) use o Teorema 3.2.2 para mostrar que a função dada é analítica em um domínio apropriado, e (b) use (9) ou (11) para calcular a derivada da função no domínio.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
com
onde
. Precisamos (a) mostrar que
é analítica num domínio apropriado, usando o Teorema 3.2.2 (CR), e (b) calcular
usando as fórmulas (9) ou (11).
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de
e
:
Passo 3
Verificamos as equações de Cauchy-Riemann:
De fato,
Como as derivadas parciais são contínuas em , o Teorema 3.2.2 garante que
é analítica em todo .
Passo 4
Observação alternativa: reconhecemos
de modo que
o que confirma que
é inteira.
Passo 5
Para calcular a derivada, usamos que
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