Nos Problemas 9-16 (a) use o Teorema 3.2.2 para mostrar que a função dada é analítica em um domínio apropriado, e (b) use (9) ou (11) para calcular a derivada da função no domínio.
f(z)=x+sen x cosh y+i(y+cos x senh y)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(z)=u(x,y)+i,v(x,y)
com
u(x,y)=x+sin x,cosh y, v(x,y)=y+cos x,sinh y,
onde z=x+iy. Precisamos (a) mostrar que f é analítica num domínio apropriado, usando o Teorema 3.2.2 (CR), e (b) calcular f'(z) usando as fórmulas (9) ou (11).

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de u e v:
partial upartial x =1+cos x,cosh y, partial upartial y =sin x,sinh y,
partial vpartial x =-sin x,sinh y, partial vpartial y =1+cos x,cosh y

Passo 3

Verificamos as equações de Cauchy-Riemann:
De fato,
Como as derivadas parciais são contínuas em , o Teorema 3.2.2 garante que é analítica em todo .

Passo 4

Observação alternativa: reconhecemos
sin z=sin(x+iy)=sin x,cosh y+icos x,sinh y,
de modo que
f(z)=x+ i,y+l(sin x,cosh y+icos x,sinh yr) = z+sin z,
o que confirma que f é inteira.

Passo 5

Para calcular a derivada, usamos que
ddzl(zr)=1, ddzl(sin zr)=cos z,
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Resposta

f'(z)=1+cos z

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