Nos Problemas 9-16 (a) use o Teorema 3.2.2 para mostrar que a função dada é analítica em um domínio apropriado, e (b) use (9) ou (11) para calcular a derivada da função no domínio.
Passo 1
O enunciado dá
onde
.
(a) Pede para mostrar que é analítica num domínio apropriado usando o Teorema
.
(ou seja, verificar as equações de Cauchy-Riemann com parciais contínuas).
(b) Pede para calcular usando a fórmula
(a) Pede para mostrar que
(b) Pede para calcular
ou sua forma equivalente.
Passo 2
Escrevemos
O Teorema
.
diz que se
e
têm parciais contínuas e satisfazem
então
é analítica naquele domínio.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 4
Verificamos as equações de Cauchy-Riemann:
Como as parciais são polinomiais (logo contínuas) e satisfazem CR em todo o plano,
é analítica em
.
Passo 5
Usando
temos