Nos Problemas 9-16 (a) use o Teorema 3.2.2 para mostrar que a função dada é analítica em um domínio apropriado, e (b) use (9) ou (11) para calcular a derivada da função no domínio.
f(z)=4 x^2+5 x-4 y^2+9+i(8 x y+5 y-1)

Passo 1

O enunciado dá
f(z)=4x^2+5x-4y^2+9+il(8xy+5y-1r),
onde z=x+iy.
(a) Pede para mostrar que f é analítica num domínio apropriado usando o Teorema 3.2. 2 (ou seja, verificar as equações de Cauchy-Riemann com parciais contínuas).
(b) Pede para calcular f'(z) usando a fórmula
f'(z)=ux+i,vx
ou sua forma equivalente.

Passo 2

Escrevemos
u(x,y)=4x^2+5x-4y^2+9, v(x,y)=8xy+5y-1
O Teorema 3.2. 2 diz que se u e v têm parciais contínuas e satisfazem
ux=vy, uy=-vx,
então f(z)=u+iv é analítica naquele domínio.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
ux=8x+5, uy=-8y, vx=8y, vy=8x+5

Passo 4

Verificamos as equações de Cauchy-Riemann:
ux=vyLongrightarrow8x+5=8x+5,
uy=-vxLongrightarrow-8y=-8y
Como as parciais são polinomiais (logo contínuas) e satisfazem CR em todo o plano, f é analítica em C.

Passo 5

Usando
f'(z)=ux+i,vx
temos
f'(z)=(8x+5)+i,(8y)=8(x+iy)+5=8z+5

Resposta

f é analítica em todo o plano complexo e
f'(z)=8z+5

Exercícios relacionados