Nos Problemas 9-16 (a) use o Teorema 3.2.2 para mostrar que a função dada é analítica em um domínio apropriado, e (b) use (9) ou (11) para calcular a derivada da função no domínio.
Passo 1
O enunciado pede (a) mostrar que a função
é analítica num domínio adequado usando o Teorema 3.2.2 (equações de Cauchy–Riemann) e (b) calcular sua derivada
nesse domínio usando a fórmula
.
Passo 2
Separamos parte real e imaginária:
Para aplicar Cauchy–Riemann, vamos calcular
.
Passo 3
Cálculo de
e
:
Passo 4
Cálculo de
e
:
Passo 5
Verificação das equações de Cauchy–Riemann:
Como as derivadas parciais são contínuas em todo
, o Teorema 3.2.2 garante que
é analítica em todo
.
Passo 6
Usando a fórmula
obtemos
Agrupando,
Resposta
(a)
é analítica em todo
.
(b) .
(b)