Nos Problemas 9-16 (a) use o Teorema 3.2.2 para mostrar que a função dada é analítica em um domínio apropriado, e (b) use (9) ou (11) para calcular a derivada da função no domínio.
f(z)=e^x^2-y^2 cos 2 x y+i e^x^2-y^2 sen 2 x y

Passo 1

O enunciado pede (a) mostrar que a função
f(z)=e^x^2-y^2cos(2xy)+i,e^x^2-y^2sin(2xy)
é analítica num domínio adequado usando o Teorema 3.2.2 (equações de Cauchy–Riemann) e (b) calcular sua derivada f'(z) nesse domínio usando a fórmula f'(z)=ux+i,vx.

Passo 2

Separamos parte real e imaginária:
u(x,y)=e^x^2-y^2cos(2xy), v(x,y)=e^x^2-y^2sin(2xy)
Para aplicar Cauchy–Riemann, vamos calcular ux,uy,vx,vy.

Passo 3

Cálculo de ux e uy:
ux =partialpartial xl(e^x^2-y^2r)cos(2xy) +e^x^2-y^2partialpartial xl(cos(2xy)r)
=2x,e^x^2-y^2cos(2xy) -2y,e^x^2-y^2sin(2xy) =e^x^2-y^2l(2xcos(2xy)-2ysin(2xy)r),
uy =partialpartial yl(e^x^2-y^2r)cos(2xy) +e^x^2-y^2partialpartial yl(cos(2xy)r)
=-2y,e^x^2-y^2cos(2xy) -2x,e^x^2-y^2sin(2xy) =e^x^2-y^2l(-2ycos(2xy)-2xsin(2xy)r)

Passo 4

Cálculo de vx e vy:
vx =partialpartial xl(e^x^2-y^2r)sin(2xy) +e^x^2-y^2partialpartial xl(sin(2xy)r)
=2x,e^x^2-y^2sin(2xy) +2y,e^x^2-y^2cos(2xy) =e^x^2-y^2l(2xsin(2xy)+2ycos(2xy)r),
vy =partialpartial yl(e^x^2-y^2r)sin(2xy) +e^x^2-y^2partialpartial yl(sin(2xy)r)
=-2y,e^x^2-y^2sin(2xy) +2x,e^x^2-y^2cos(2xy) =e^x^2-y^2l(-2ysin(2xy)+2xcos(2xy)r)

Passo 5

Verificação das equações de Cauchy–Riemann:
ux =e^x^2-y^2l(2xcos2xy-2ysin2xyr) =vy,
uy =e^x^2-y^2l(-2ycos2xy-2xsin2xyr) =-l(2xsin2xy+2ycos2xyr)e^x^2-y^2 =-vx
Como as derivadas parciais são contínuas em todo R^2, o Teorema 3.2.2 garante que f é analítica em todo C.

Passo 6

Usando a fórmula
f'(z)=ux+i,vx
obtemos
f'(z) =e^x^2-y^2l(2xcos2xy-2ysin2xyr) +i,e^x^2-y^2l(2xsin2xy+2ycos2xyr)
Agrupando,
f'(z) =2,e^x^2-y^2l[(x+iy)(cos2xy+isin2xy)r] =2(x+iy)e^x^2-y^2+i2xy =2z,e^z^2

Resposta

(a) f é analítica em todo C.
(b) f'(z)=2z,e^z^2.

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