Nos Problemas 9-16 (a) use o Teorema 3.2.2 para mostrar que a função dada é analítica em um domínio apropriado, e (b) use (9) ou (11) para calcular a derivada da função no domínio.
f(z)=x-1(x-1)^2+y^2-i y(x-1)^2+y^2

Passo 1

O enunciado dá
f(z)=u(x,y)+i,v(x,y), u(x,y)=x-1(x-1)^2+y^2,;v(x,y)=-y(x-1)^2+y^2,
e pede: (a) usar o Teorema 3.2.2 (condições de Cauchy–Riemann) para mostrar que f é analítica em um domínio apropriado, e (b) calcular f'(z).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de u e v. Seja
D=(x-1)^2+y^2
Então:
ux=D-2(x-1)^2D^2=- (x-1)^2+y^2D^2, uy=-2y(x-1)D^2,
vx=2y(x-1)D^2, vy=-D+2y^2D^2=- (x-1)^2+y^2D^2

Passo 3

Verificamos as equações de Cauchy–Riemann:
ux = vy, uy = -,vx,
que valem sempre que Dneq0, isto é, (x,y)neq(1,0). Como as derivadas parciais são contínuas em Csetminus1, pelo Teorema 3.2.2 f é analítica em Csetminus1.

Passo 4

Para obter f'(z) usamos
f'(z)=ux+i,vx =- (x-1)^2+y^2D^2 +i,2y(x-1)D^2 =-l((x-1)^2-y^2-2i,y(x-1)r)D^2
Reconhecemos o numerador como - (x-1+i,y)^2 e D=|z-1|^2, logo
f'(z)=-(x-1+i,y)^2l|z-1r|^4 =-1(z-1)^2

Resposta

f é analítica em Csetminus1 e
f'(z)=-1(z-1)^2

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