Nos Problemas 9-16 (a) use o Teorema 3.2.2 para mostrar que a função dada é analítica em um domínio apropriado, e (b) use (9) ou (11) para calcular a derivada da função no domínio.
Passo 1
O enunciado dá
e pede: (a) usar o Teorema 3.2.2 (condições de Cauchy–Riemann) para mostrar que
é analítica em um domínio apropriado, e (b) calcular
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
e
. Seja
Então:
Passo 3
Verificamos as equações de Cauchy–Riemann:
que valem sempre que
, isto é,
. Como as derivadas parciais são contínuas em
, pelo Teorema 3.2.2
é analítica em
.
Passo 4
Para obter
usamos
Reconhecemos o numerador como
e
, logo