Nos Problemas 9-16 (a) use o Teorema 3.2.2 para mostrar que a função dada é analítica em um domínio apropriado, e (b) use (9) ou (11) para calcular a derivada da função no domínio.
f(z)=e^-x cos y-i e^-x sen y

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(z)=e^{−x}cos y−i e^{−x}sen y é analítica usando o Teorema 3.2.2 (equações de Cauchy-Riemann) e em seguida calcular f′(z) pelo método (9) ou (11). Vamos precisar escrever f como f(z)=u(x,y)+i v(x,y), verificar as equações de Cauchy-Riemann e depois usar uma das fórmulas de derivada.

Passo 2

Separamos a parte real e imaginária de f:
u(x,y)=e^{−x}cos y
v(x,y)=−e^{−x}sen y

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de u e v:
ux=∂∂x(e^−xcosy)=−e^−xcosy
uy=∂∂y(e^−xcosy)=−e^−xseny
vx=∂∂x(−e^−xseny)=e^−xseny
vy=∂∂y(−e^−xseny)=−e^−xcosy

Passo 4

Verificamos as equações de Cauchy-Riemann:
u_x=−e^{−x}cos y e v_y=−e^{−x}cos y ⇒ ν_x=v_y
ν_y=−e^{−x}sen y e v_x=e^{−x}sen y ⇒ ν_y=−v_x
Como ambas valem em todo (x,y), f satisfaz CR em todo o plano, logo f é analítica em ℂ.

Passo 5

Usando a fórmula f′(z)=u_x+i v_x, temos
f(z)=−e^−xcosy + ie^−xseny
Observando que isso é −(e^{−x}cos y−i e^{−x}sen y)=−f(z) e também −e^{−(x+iy)}, concluímos que f′(z)=−e^{−z}.

Resposta

f(z) é analítica em ℂ e f′(z)=−e^{−z}.

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