Provar que as equações seguintes são exatas e resolver :
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação diferencial
é exata e, em seguida, encontrar sua solução geral. O conteúdo envolvido é equação diferencial exata: identificamos funções
Passo 2
Primeiro identificamos
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais:
Como são iguais, a equação é exata.
Passo 4
Para achar a função potencial
tal que
integrar
$$
\Psi(x,y)=\int\Bigl(y\cos(xy)+\frac{y}{\sqrt{x}}\Bigr),dx
=\int y\cos(xy),dx+\int yx^{-1/2},dx
=\sin(xy)+2y\sqrt{x}+h(y),
=\int y\cos(xy),dx+\int yx^{-1/2},dx
=\sin(xy)+2y\sqrt{x}+h(y),
$$
onde é uma função só de
.
onde
Passo 5
Para determinar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Logo
e
$$h(y)=\ln|y|+C_1.
$$
Passo 6
A solução geral vem de
:
onde
é a constante de integração.