Provar que as equações seguintes são exatas e resolver :

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação diferencial
ycos(xy)+yraizx+l(xcos(xy)+2raizx+tfrac1yr)y'=0
é exata e, em seguida, encontrar sua solução geral. O conteúdo envolvido é equação diferencial exata: identificamos funções M(x,y) e N(x,y), conferimos a condição de exatidão partial M/partial y=partial N/partial x e construímos uma função potencial Psi(x,y).

Passo 2

Primeiro identificamos
M(x,y)=ycos(xy)+yraizx, N(x,y)=xcos(xy)+2raizx+1y

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y=partialpartial yl(ycos(xy)r)+partialpartial yl(yraizxr) =cos(xy)-xysin(xy)+1raizx,
partial Npartial x=partialpartial xl(xcos(xy)r)+partialpartial x(2raizx) =cos(xy)-xysin(xy)+1raizx
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 4

Para achar a função potencial Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x=M(x,y), partial Psipartial y=N(x,y),
integrar M em relação a x:
$$
\Psi(x,y)=\int\Bigl(y\cos(xy)+\frac{y}{\sqrt{x}}\Bigr),dx
=\int y\cos(xy),dx+\int yx^{-1/2},dx
=\sin(xy)+2y\sqrt{x}+h(y),
$$
onde Psi(x,y)=integrall(ycos(xy)+yraizxr),dx =integral ycos(xy),dx+integral yx^-1/2,dx =sin(xy)+2yraizx+h(y), é uma função só de h(y).

Passo 5

Para determinar h(y), derivamos Psi em relação a y e igualamos a N(x,y):
partial Psipartial y=xcos(xy)+2raizx+h'(y) stackrel!=N(x,y)=xcos(xy)+2raizx+1y
Logo h'(y)=1/y e
$$h(y)=\ln|y|+C_1.
$$

Passo 6

A solução geral vem de Psi(x,y)=C:
sin(xy)+2yraizx+ln|y|=C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

sin(xy)+2yraizx+ln|y|=C

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