Nos Problemas
, mostre que a função dada não é analítica em qualquer ponto.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função complexa
do ponto de vista de análise complexa não é analítica em nenhum ponto. O conteúdo envolve derivabilidade complexa e as equações de Cauchy–Riemann, e vamos precisar separar a parte real e imaginária de
e aplicar essas equações.
Passo 2
A parte real e imaginária de
são
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
Passo 3
As equações de Cauchy–Riemann exigem
Substituindo as derivadas:
o que implica
e
. Portanto as equações só se satisfazem em
, um ponto isolado. Para que uma função seja analítica em um ponto, ela precisa ser complexamente diferenciável em um entorno desse ponto, o que não ocorre aqui.
Passo 4
Como não existe nenhum entorno de nenhum ponto em que as equações de Cauchy–Riemann sejam satisfeitas, concluímos que
não é analítica em nenhum ponto do plano complexo.
Resposta
A função
não é analítica em nenhum ponto de
.