Nos Problemas 3-8, mostre que a função dada não é analítica em qualquer ponto.
f(z)=x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função complexa
f(z)=x^2+y^2
do ponto de vista de análise complexa não é analítica em nenhum ponto. O conteúdo envolve derivabilidade complexa e as equações de Cauchy–Riemann, e vamos precisar separar a parte real e imaginária de f e aplicar essas equações.

Passo 2

A parte real e imaginária de f(z) são
u(x,y)=x^2+y^2,
v(x,y)=0
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
ux=partialpartial x(x^2+y^2)=2x,
uy=partialpartial y(x^2+y^2)=2y,
vx=0,
vy=0

Passo 3

As equações de Cauchy–Riemann exigem
ux=vy
uy=-vx
Substituindo as derivadas:
2x=0
2y=0,
o que implica x=0 e y=0. Portanto as equações só se satisfazem em z=0, um ponto isolado. Para que uma função seja analítica em um ponto, ela precisa ser complexamente diferenciável em um entorno desse ponto, o que não ocorre aqui.

Passo 4

Como não existe nenhum entorno de nenhum ponto em que as equações de Cauchy–Riemann sejam satisfeitas, concluímos que f(z)=x^2+y^2 não é analítica em nenhum ponto do plano complexo.

Resposta

A função f(z)=x^2+y^2 não é analítica em nenhum ponto de C.

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