Nos Problemas 9-16 (a) use o Teorema 3.2.2 para mostrar que a função dada é analítica em um domínio apropriado, e (b) use (9) ou (11) para calcular a derivada da função no domínio.
f(z)=x^3+x y^2+xx^2+y^2+i x^2 y+y^3-yx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede (a) mostrar que a função
f(z)=x^3+xy^2+xx^2+y^2+i,x^2y+y^3-yx^2+y^2
é analítica em um domínio apropriado usando o Teorema 3.2.2 (condições de Cauchy-Riemann) e (b) calcular a derivada f'(z) por uma das fórmulas usuais, como f'=ux+i vx. Vamos precisar identificar as partes real e imaginária, calcular derivadas parciais, checar Cauchy-Riemann e aplicar a fórmula de derivada.

Passo 2

Primeiro identificamos as funções real e imaginária e o domínio onde elas têm derivadas contínuas:
u(x,y)=x^3+xy^2+xx^2+y^2, v(x,y)=x^2y+y^3-yx^2+y^2
O domínio natural é D=(x,y)in R^2:x^2+y^2neq0, pois o denominador não pode ser zero.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de u e v. Chamando R=x^2+y^2:
u(x,y)=x+xR, v(x,y)=y-yR
Então
ux=1+R-2x^2R^2=1+y^2-x^2R^2, uy=-2xyR^2,

Passo 4

Verificamos as equações de Cauchy-Riemann em D:
ux=1+y^2-x^2R^2=vy, uy=-2xyR^2=-vx
Como u e v têm derivadas parciais contínuas em D e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann, o Teorema 3.2.2 garante que f é analítica em zin C:zneq0.

Passo 5

Para calcular a derivada usamos a fórmula
f'(z)=ux+i,vx
Substituindo
ux=1+y^2-x^2(x^2+y^2)^2, vx=2xy(x^2+y^2)^2,
obtemos
f'(z)=1+y^2-x^2(x^2+y^2)^2+i,2xy(x^2+y^2)^2=1-x^2-y^2-2i xy(x^2+y^2)^2
Reconhecendo x^2-y^2-2i xy=(x-iy)^2 e x-iy=1/z, concluímos
f'(z)=1-1z^2

Resposta

f’(z)=1-\frac{1}{z^{2}}, válido para z\neq0.

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