Nos Problemas 9-16 (a) use o Teorema 3.2.2 para mostrar que a função dada é analítica em um domínio apropriado, e (b) use (9) ou (11) para calcular a derivada da função no domínio.
Passo 1
O enunciado pede (a) mostrar que a função
é analítica em um domínio apropriado usando o Teorema 3.2.2 (condições de Cauchy-Riemann) e (b) calcular a derivada
Passo 2
Primeiro identificamos as funções real e imaginária e o domínio onde elas têm derivadas contínuas:
O domínio natural é
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais de
e
. Chamando
:
Então
Passo 4
Verificamos as equações de Cauchy-Riemann em
:
Como
Passo 5
Para calcular a derivada usamos a fórmula
Substituindo
obtemos
Reconhecendo
Resposta
f’(z)=1-\frac{1}{z^{2}}, válido para z\neq0.