Provar que as equações seguintes são exatas e resolver :

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação de primeira ordem
(3x^2+6xy^2)+(6x^2y+4y^3)y'=0
é exata e, em seguida, encontrar sua solução geral. Esse é um exercício de EDO exata, e vamos precisar calcular derivadas parciais e integrar para achar uma função potencial.

Passo 2

Vamos chamar
M(x,y)=3x^2+6xy^2,
N(x,y)=6x^2y+4y^3
Para verificar exatidão, comparamos
partial Mpartial y=partialpartial y(3x^2+6xy^2)=12xy
e
partial Npartial x=partialpartial x(6x^2y+4y^3)=12xy
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Como é exata, existe uma função potencial phi(x,y) tal que
phix=M=3x^2+6xy^2
Integrando em x, obtemos
phi(x,y)=integral(3x^2+6xy^2),dx=x^3+3x^2y^2+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Agora impomos
phiy=partialpartial y(x^3+3x^2y^2+h(y))=6x^2y+h'(y)
e igualamos a N(x,y)=6x^2y+4y^3. Logo
6x^2y+h'(y)=6x^2y+4y^3Longrightarrow h'(y)=4y^3
Integrando em y, temos h(y)=y^4 (constantão absorvido depois).

Passo 5

Reunindo tudo, a função potencial fica
phi(x,y)=x^3+3x^2y^2+y^4
A solução geral da EDO exata é
phi(x,y)=C,
ou seja
x^3+3x^2y^2+y^4=C

Resposta

x3+3x2y2+y4=C

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