Provar que as equações seguintes são exatas e resolver :
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação de primeira ordem
é exata e, em seguida, encontrar sua solução geral. Esse é um exercício de EDO exata, e vamos precisar calcular derivadas parciais e integrar para achar uma função potencial.
Passo 2
Vamos chamar
Para verificar exatidão, comparamos
e
Como são iguais, a equação é exata.
Passo 3
Como é exata, existe uma função potencial
tal que
Integrando em
, obtemos
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Agora impomos
e igualamos a
. Logo
Integrando em
, temos
(constantão absorvido depois).
Passo 5
Reunindo tudo, a função potencial fica
A solução geral da EDO exata é
ou seja
Resposta
x3+3x2y2+y4=C